Дискретні випадкові величини

Приклад 9. Для заданої випадкової величини записати функцію розподілу та побудувати її графік. Обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

	1	2	3
	0,2	0,4	0,4

Розв’язування. Для дискретної випадкової величини із законом розподілу

функція розподілу випадкової величини матиме вигляд:

У нашому випадку:

Графік функції розподілу зображено на рис. 1.

Рис. 1. Графік функції розподілу .

Математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення обчислюють відповідно за формулами:

,

,

.

У нашому випадку:

;

;

.

Неперервні випадкові величини

Приклад 10. Випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:

Знайти:

а) диференціальну функцію розподілу;

б) математичне сподівання і дисперсію випадкової величини ;

в) ймовірність потрапляння значень випадкової величини в інтервал .

Побудувати графіки диференціальної та інтегральної функцій розподілу.

Розв’язування. а) Диференціальну функцію розподілу шукаємо, виходячи з того, що , тобто

б) Математичне сподівання:

дисперсія:

.

в) Ймовірність потрапляння значень випадкової величини в інтервал обчислюється за формулою:

.

Оскільки для всіх , то . Для , тому . Отже,

.

Графіки інтегральної і диференціальної функцій розподілу зображені на рис. 2 і рис. 3 відповідно.

Рис. 2. Графік інтегральної функції розподілу.

0,5

1

Рис. 3. Графік диференціальної функції розподілу.

Математична статистика

Приклад 11. Результати досліджень задаються таким стати­стичним рядом:

	0	1	2	3	4	5
	3	5	6	7	5	4

Потрібно:

а) побудувати полігон частот;

б) записати емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік;

в) знайти точкову оцінку математичного сподівання, зміщену та незміщену оцінки дисперсії, а також вибіркове середньоквадратичне відхилення та виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення .

Розв’язування. а) Полігон частот — це ламана лінія, відрізки якої послідовно з’єднують точки з координатами (рис.4):

Рис. 4. Полігон частот.

б) Аналітично емпірична функція розподілу статистичного ряду вибірки

			…
			…

записується так:

Тоді:

Графік емпіричної функції розподілу зображено на рис. 5.

Рис. 5. Графік емпіричної функції розподілу .

в) Точкова оцінка математичного сподівання обчислюється за формулою:

.

Маємо .

Зміщену оцінку дисперсії (вибіркову дисперсію) обчислимо за формулою:

,

;

незміщена оцінка дисперсії (виправлена вибіркова дисперсія) : .

Тоді

Вибіркове середнє квадратичне відхилення та виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють:

.

Тоді , .

Приклад 12. Використовуючи критерій Пірсона, за рівня значущості перевірити, чи узгоджується гіпотеза про нормальність розподілу генеральної сукупності, якщо задані емпіричні та теоретичні частоти:

	9	12	17	26	21	15	6
	13	10	16	25	21	14	7

Розв’язування. Обчислимо точкову оцінку :

Для рівня значущості і числа ступенів вільності із таблиці 3 у додатку знаходимо, що . Оскільки , то немає підстав відхиляти гіпотезу про нормальність розподілу.

Приклад 13. При статистичному дослідженні залежності між продуктивністю праці (грн. на особу) і денною заробітною платою (грн.) на однорідних підприємствах певної галузі сформовано вибірку:

xі	47	71	64	35	43	60	38	59	67	56
yі	42	81	68	43	50	75	47	59	69	57

Необхідно оцінити ступінь (тісноту) лінійного зв’язку між факторами та та записати вибіркове лінійне рівняння регресії.

Розв’язування. Оцінимо тісноту лінійного зв’язку між факторами та за допомогою вибіркового коефіцієнта кореляції , який обчислюється за формулою

,

де

, , , , .

Для зручності побудуємо допоміжну розрахункову таблицю:

№ з/п
1	47	42	1974	2209	1764
2	71	81	5751	5041	6561
3	64	68	4352	4096	4624
4	35	43	1505	1225	1849
5	43	50	2150	1849	2500
6	60	75	4500	3600	5625
7	38	47	1786	1444	2209
8	59	59	3481	3481	3481
9	67	69	4623	4489	4761
10	56	57	3192	3136	3249
	540	591	33314	30570	36623
середні	54	59,1	3331,4	3057	3662,3

Вибираючи з останнього рядка відповідні суми і підставляючи їх у формулу, отримаємо:

; ; ;

; ;

.

Отже, зв’язок між продуктивністю праці і денною заробітною платою для даного типу підприємств є прямим ( ) і тісним ( ). Лінійне рівняння регресії на зображають у вигляді , де коефіцієнти знаходимо із системи рівнянь:

або

Підставимо знайдені значення в останню систему і отримаємо:

розв’язавши яку матимемо i .

Отже, шукане лінійне рівняння регресії має вигляд:

.