Розв’язування типових завдань Класичне та геометричне означення ймовірності

Приклад 1. У кошику 10 кульок, з яких 3 чорних і 7 білих. Навмання виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята кулька біла?

Розв’язування. Цей експеримент має 10 рівноможливих результатів, з яких для події А сприятливі 7, тобто , . Тоді згідно з класичним означенням ймовірності появи події отримаємо, що

Приклад 2. Із 20 телевізорів, серед яких 5 неробочих, для перевірки ви-падково відібрано 3. Яка ймовірність того, що в число відібраних потраплять 1 неробочий і 2 робочих телевізори?

Розв’язування. За елементарні події у цьому експерименті виступають будь-які трійки телевізорів із 20, загальна кількість яких .

Нехай А — подія, яка полягає в тому, що серед 3 вибраних телевізорів — 2 робочих і 1 неробочий. Кількість будь-яких пар робочих телевізорів дорівнює . Кожна така пара може об’єднуватись з одним із неробочих телевізорів, кіль­кість яких дорівнює . Тому , і згідно з класичним означенням ймовірності

.

Приклад 3. Точка „кинута” в круг з радіусом R. Визначити ймовірність того, що вона потрапить у квадрат, вписаний у цей круг.

Розв’язування. Нехай А — подія, яка полягає в потраплянні точки у квадрат. Ймовірність Р(А), яка визначається, виходячи із геометричного означення, дорівнює відношенню площі вписаного квадрата до площі круга :

.

У нашому випадку , . Тому .

Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Приклад 4. До іспиту викладачем підготовлено 30 білетів, у кожному з яких є 2 питання. Іспит вважається зданим, якщо студент відповідає на обидва питання навмання вибраного білету або на одне питання білету і одне додаткове питання, що ставить викладач. Знайти ймовірність того, що студент здасть іспит (подія ), якщо він знає відповіді на 45 питань.

Розв’язування. Нехай подія А ={студент здасть іспит}. Висуваємо гіпотези: Н₁={студент відповідає на два питання білета}, Н₂={студент відповідає лише на одне питання білета}, Н₃={студент не відповідає на жодне питання білета}. Апріорні ймовірності, тобто ймовірності гіпотез, знайдемо за класичним означенням:

; ;

.

Оскільки , , повинні утворювати повну групу подій, то . Знайдемо умовні ймовірності настання події за умови, що відбулась , тобто ймовірність здати іспит, якщо студент відповів на два питання білета, дорівнює: . Якщо ж відбулась подія , тобто студент знає відповідь лише на одне питання білету, то його ймовірність отримати позитивну оцінку Очевидно, що .

Тоді за формулою повної ймовірності . Отримаємо: .

Приклад 5. Два верстати виготовляють однакові деталі. Перший верстат за той самий час виготовляє в 1,5 рази більше деталей, ніж другий. Брак на першому верстаті становить 3%, на другому — 2%. Яка ймовірність того, що вийнята навмання стандартна деталь виготовлена на першому верстаті?

Розв’язування. Нехай подія А={вийнята навмання деталь — стандартна}, тоді ={вийнята деталь — нестандартна}; ={деталь виготовлена на першому верстаті}; ={деталь виготовлена на другому верстаті}.

Оскільки перший верстат виробляє в 1,5 рази більше деталей, ніж другий, то частка деталей, які виготовлені на першому верстаті, становить , а на другому — , тобто ; .

Умовні ймовірності згідно з умовою задачі відповідно дорівнюють

,

.

Тоді ймовірність того, що взята навмання деталь стандартна, дорівнює

,

а ймовірність того, що вона виготовлена на першому верстаті, знаходимо за формулою Байєса:

.

Схема Бернуллі

Приклад 6. Згідно зі статистичними даними серед машин, які прибувають на прикордонну заставу, 75% становлять легкові автомобілі. Знайти ймовірність того, що з 6 машин, які прибули на заставу, легкових буде: а) 4; б) від 2 до 4; в) хоча б одна легкова машина.

Розв’язування. У випадку а) , , , , , . Тоді за формулою Бернуллі одержимо:

;

б) ,

,

,

Тоді:

.

в) Нехай подія ={серед 6 машин, які прибули на заставу, буде хоча б одна легкова машина}. Тоді протилежна подія ={серед 6 машин, які прибули на заставу, не буде легкової машини}. За формулою Бернуллі: , і тоді .

Приклад 7. Ймовірність появи події А в кожному із 400 незалежних випробовувань однакова і дорівнює 0,2. Знайти найімовірніше число появи події А при 400 випробуваннях, а також його ймовірність.

Розв’язування. Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі m₀ знаходимо із нерівності:

.

Підставивши в останню нерівність , , , отримаємо:

,

.

Оскільки — ціле число, то .

За локальною формулою Муавра-Лапласа ( , — велике):

, де , знайдемо .

Обчисливши , за таблицею 1 у додатку знаходимо, що . Тоді шукана ймовірність:

Приклад 8. Ймовірність того, що деталь не пройшла перевірку відділу технічного контролю, дорівнює . Знайти ймовірність того, що серед 400 випадковим чином відібраних деталей неперевірених виявиться не менше 70 і не більше 100.

Розв’язування. За умовою , , , , . Використаємо інтегральну формулу Муавра-Лапласа:

, де

, .

Із таблиці 2 у додатку знаходимо, що:

, .

Отже, шукана ймовірність:

.