1.4.1 Стереографиялық проекцияны құру принципi

Стереографиялық проекция әдiсiнiң мәнi құрылудың және сфералық тригонометриялық ережелерді қолдануда жатыр.

Бiрiншiден, проекцияның центрi ретiнде О нүктесiн алады. Осы центр айналасын көрсететiн шардың бетi, яғни сфераны проекциялардың шары деп атайды.

Екiншiден, проекцияның жазықтығы ретiнде радиусы проекция шарының радиусына тең, үлкен шеңбер түрiндегi жазықтықпен сфераны қиған экваторлы қимасы. Проекцияның жазықтығына перпендикуляр жазықтықтар шарды кiшкентай шеңбер бойымен басып өтедi.

Проекцияның жазықтығына перпендикуляр орналасқан сфераның диаметрi проекцияның өсi - NS (1.7 -сурет) деп аталады. Проекциялардың өстерi мен сфераның түйiсу нүктелерi проекциялардың полюстерi деп аталады. Солтүстiк полюс (N нүктесi) проекциялар жазықтығының үстiнде, ал оңтүстiк полюс (S нүктесi) оның астында жатыр.

1.7 - сурет – Проекциялардың шары мен стереографиялық проекцияның жазықтығы

Стереографиялық проекцияның салу қағидасы өте оңай. Егер кристалло-графиялық кешендi проекциялар шарының центрiне орналастырсақ және оны сфералық бетке проекцияласақ (кешен элементтерін сфера бетімен қиылысқанға дейін жалғастырсақ), онда көлемді сфералық проекция аламыз: комплекстiң жазықтықтары үлкен шеңберлерді құрайды, ал түзулер - проекциялар шарының үстiнде нүктелердi құрайды.

Сфералық проекцияны стереографиялық проекцияның жазықтығына проекциялағанда, кристалдың стереографиялық проекциясын алуға болады. Түзудi проекциялау үшiн, мысалы ОД (1.8-сурет) оны проекция шарымен түйiскенiнше созады.

А лынған Д* нүктесiн стереографиялық проекцияның жазықтығына аударамыз, ол үшiн қарама-қарсы жатқан проекциялар шар полюсiнiң S-нүктесiмен қосамыз. Д*S сәулесiнiң проекциялар жазықтығымен қиылысу iзi ОД түзуiнiң стереографиялық проекциясы Д.

1.8 - сурет – Бағыттың, жазықтықтың стереографиялық проекцияның құрылу қағидасы

Проекция шарының бетiндегi кристалдық құрылымның жазықтықтары үлкен шеңбер доғасы түрiнде қиылысу сызықтарын пайда болдырады.

Олар солтүстiк жарты шардан проекциялағанда стереографиялық проекцияның жазықтығына проекцияланады.

Проекция жазықтығына перпендикуляр жазықтықтар түзу сызық-тарымен бейнеленедi, ал оған параллель - шеңбермен бейнеленедi, еңкейтiлген - домалақ доға түрiнде бейнеленедi.

Сонымен, стереографиялық проекцияны салу үшiн, ойша:

- кристаллографиялық кешендi (кристалдық тордың элементi) проекциялар шарының центрiне орналастыру керек;

- проекциялар шарының бетiнде оның сфералық проекциясын, яғни проекцияланған элементтiң сызықтары мен нүктелерiн көрсету;

- сфералық проекцияны стереографиялық проекцияның жазықтығын-да көрсету.

1.4.2 Гномостереографиялық проекцияны тұрғызу қағидасы

Тәжірибелік есептердi оңай шығару үшiн тәсілдерінің бірі жазықтықтардың гномостереографиялық (грек сөзiнен “гномон” - нормаль) проекциясы болып табылады. Гномостереографиялық проекцияны тұрғызу қағидасы 1.9 - суретте көрсетiлген.

1 - жазықтық, 2 - жазықтың полюсi, 3 - жазықтың прекциясы

1.9 - сурет – Жазықтың гномостереографиялық проекцияны

тұрғызу қағидасы

Проекциялар шарының центрiнен тұрғызылатын жазықтық 1 оған нормаль болып ауыстырылады. Бұл нормаль прекциялар шарын 2 нүктесiнде қиып өтедi, О2 – 1-ші жазықтыққа нормаль. Тұрғызылатын сәуле нүктесiн 2-ші нүктемен қосып, проекциялау жазықтығында 3-ші нүктенi аламыз, ол жазықтың 1 гномостереографиялық прекциясы болады.

Сонымен, текшелік сингониялы кристалдың гномостереография-лық проекция жазықтығын (hkl), проекциялар шарының центрi арқылы өтетiн және жазықтыққа перпендикуляр етiп, бағыттың [hkl] стереографиялық проекциясы сияқты тұрғызады.

Ендi гномостереографиялық проекцияларды тұрғызудың қарапайым заңдылықтарын түсiну қиын емес. Кристалдың көлденең жақтықтарының прекциялары шеңбердiң центрiнде орналасса: дөңгелекпен, егер кристаллографиялық кешеннің центрiнен жоғары орналасса немесе центрден төмен орналасса крестикпен өрнектеледi.

Тiк жазықтықтардың гномостереографиялық проекциялары проекциялар жазықтығының щеңберiнде орналасады.

Проекциялар жазықтығына көлбеуленген жазықтықтардың гномо-стереографиялық проекциялары проекциялар шеңберiнiң iшiнде көрсетiледi. Жазықтық пен проекция өсiнiң арасындағы бұрыш кiшкентай болса, сондай проекция проекциялар жазықтығының центрiнен алыс болады.

1.4.3 Вульф, Болдырев торлары. Торлар арқылы шығарылатын есептер. Есептерде стереографиялық және гномостереографиялық проекцияларды жасау әдiстерiн пайдалану керек болса, онда бағыттар, жазықтықтар және тағы басқа арасындағы бұрыштық қатынастардың сандық есептеулерiн салыстырмалы жеңiл шығаруға мүмкiндiк беретiн координаттық торларды қолданады.

Ш арға жүргiзiлген проекциялар, параллельдер және меридиандардың стереографиялық проекциялардың жүйесiн координаттық торлар (сеткалар) деп атайды (1.10 - сурет).

1.10 - сурет – Проекциялар шарына жүргiзiлген меридиандар және параллельдер

Е гер меридиандар жүйесi проекциялар шарының солтүстiк және оңтүстiк полюстерi арқылы өтсе, онда стереографиялық проекцияда олардың түрi радианды түзу болады, ал проекциялар шарына жүргiзiлген параллельдер - концентрленген шеңберлер жүйесi болады. Мұндай сетка Болдырев торы (сеткасы) деп аталады (1.11 -сурет).

1.11 - сурет –

Болдырев торы

Проекциялар шарының меридианды қимасын проекциялар жазықты-ғы деп аламыз, сонда параллельдер мен меридиандарды жобалағанда алынған координаттық сеткасы Вульф сеткасы деп аталады (1.12 -сурет).

1.12 - сурет –

Вульф торы

Болдырев пен Вульфтiң стандартты сеткаларының диаметрi 20 см, меридиандар және ендiктер 2 градус қашықтығында жүргiзiлген. Осындай сеткалар есептеудiң дәлдiгiн 1⁰ дейiн қамтамасыз етедi. Одан да нақты есептеу үшiн диаметрi үлкен (50 см) торларды қолдану керек.

Қисық сызықты координат жүйесiнде сеткалар жазықтығында кез келген нүктенiң орналасуы бiр мәндi көрсетедi, оның параметрi екi бұрыш болып табылады (1.11, 1.12 - суреттер): Болдырев сеткасында бұрыштық координаттар ,  көмегiмен, Вульф сеткасында  және .

 және  бұрыштары радианды бағытта жазықтықтың центрiнен шеңберiне дейiн есептелiнедi және өзгеру шектерi 0-ден 90⁰, ал  және  бұрыштары сеткалардың шеңберлерi бойымен және өзгеру шектерi 0-ден 360⁰.