8. Закон динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла

Маса тіла , де –маса і – тої матеріальної точки, причому і = 1, 2, 3, ..., n.

,

де – момент імпульсу i-ї матеріальної точки, – сумарний момент зовнішніх сил, – сумарний момент внутрішніх сил, що діють на дану точку.

Просумувавши вирази, записані для кожної точки, отримаємо для тіла загалом

.

, де – момент інерції абсолютно твердого тіла відносно осі z .

9. У інтегральній формі, коли тіло розглядають як сукупність нескінченно малих елементів маси , вираз для запишемо у вигляді: ,

де R – відстань елементарної маси від осі обертання.

З наведених вище виразів випливає, що момент інерції тіла залежить від його маси, геометрії тіла та положення осі обертання відносно тіла. Зокрема, моменти інерції однорідних тіл правильної геометричної форми можна обчислити за допомогою наступних виразів:

• Порожнистий тонкостінний циліндр маси m та радіуса R відносно геометричної осі симетрії , що проходить через центр маси:

• Суцільний циліндр (диск) масою m та радіусом R відносно геометричної осі симетрії , що проходить через центр маси:

10. Куля масою m та радіусом R відносно осі, що проходить через центр мас кулі: .

11. Теорема Гюнгенса-Шнейнера.

Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції цього тіла відносно осі, що проходить паралельно даній осі через центер мас + md², де d-відстань між осями.

I=I₀+md²

I₀₌ md²

Момент інерції однорідного стрижня.

Однорідний стрижень маси m і довжини l відносно осі, що перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець:

12. Роботою сили , що діє на матеріальну точку масою під час її переміщення на , називають фізичну величину, що чисельно дорівнює скалярному добутку цих величин.

Енергія- це здатність тіла чи силового поля виконати роботу.

Робота, виконана силою за одиницю часу, називається потужністю: , або .

Величину називають кінетичною енергією тіла.

13. Кінетична енергія обертального руху матеріальної точки.

Кінетична енергія матеріальної точки визначається її масою та швидкістю: . Якщо частинка здійснює рух по колу, не приймаючи участі в інших рухах, то в даному виразі є лінійною швидкістю обертового руху і , де – кутова швидкість обертового руху , а – радіус кола. Таким чином , де – момент інерції матеріальної точки відносно центра обертання.

Кінетична енергія обертального руху абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі.

Кінетична енергія довільного руху абсолютно твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій усіх матеріальних точок, з яких складається тіло:

Якщо тіло здійснює лише обертовий рух новколо нерухомої осі, то швидкість – тої матеріальної точки , де – відстань точки від осі обертання. Таким чином:

, де – момент інерції тіла відносно осі обертання.

Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю навколо осі, яка проходить через центр інерції і одночасно здійснює поступальний рух з швидкістю , то сумарна кінетична енергія руху тіла дорівнює:

Прикладами подібного руху можуть бути рухи обруча або однорідного диска однакових мас , і радіуса що котяться рівномірно горизонтальною ділянкою без проковзування з однаковими швидкостями поступального руху:

+ .

Тобто , бо , а .