2. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования

================================================== ======

              В евклидовом пространстве Еп система ограничений (1.1) определяет область допустимых решений задачи. В отличие от задач линейного программирования она не всегда выпуклой.

              Если определена область допустимых решений, то нахождение решения задачи (1.1, 1.2) сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхнисть высокого (самого низкого) уровня. Указанная точка может находиться как на границе области допустимых решений, так и в середине нее.

 

              Процесс нахождения решения задач нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1. Находят область допустимых решений задачи, которая определяется отношениями (1.1) (если она пустая, то задача не имеет решений).

2. Строят гиперповерхнисть f(x₁, x₂, …, x_n)=h

3. Определяют гиперповерхнисть наибольшего (наименьшего) уровня или устанавливают не разрешимость задачи из-за неограниченности функции (1.2) сверху (снизу) на множестве допустимых решений.

4. Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхнисть высокого (самого низкого) уровня, и определяют в ней значение функции (1.2).

 

 

 

3. Экономическая интерпретация задач нелинейного программирования

=================== =============================== ======

 

 

 

 

 

 

 

4. Методы решения задач нелинейного программирования

================================================== ======

              Наиболее известными методами решения задач нелинейного программирования являются:

1. Градиентный метод.

2. Метод штрафных функций.

3. Метод выпуклого анализа.

4. Метод обобщенных градиентов.

5. Метод негладких штрафных функций.

6. Прямой градиентный метод.

7. Метод отсекающих гиперплоскостей.

8. Двойной градиентный метод.

9. Метод Эрроу-Гурвица.

10. Итерактивни методы декомпозиции.

11. Метод возможных направлений.

12. Метод линераризации.

13. Метод покампонентного спуска.

14. Метод множителей Лагранжа.

15. Метод потенциалов.

 

 

4.1. Решение нелинейных транспортных задач по правилу потенциалов

([1] - ст.142-143)

---------------------------------------------- ---- ---------------------------------------------

              При высоком заполнении пропускной способности, которая зависит от движения, расходы увеличиваются быстрей, чем величина потоку, то есть они становятся нелинейной функцией размеров движения. Это необходимо учитывать при решении ряда конкретных вопросов, например при распределении потоков по сети железных дорог.

              При неизменной технической базе, то есть в условиях оперативного и поточного планирования, функция затрат является выпуклой сверху, что облегчает нахождения оптимума.

 

              Нелинейная транспортная задача отличается от линейной видом цилевои функции

F =  Э_st(Г_st)min (4.1)

где Э_st(Г_st) - затраты по участку s-t, которые являются некоторой нелинейной функцией потока по данному участку.

              Г _st - общий поток всех грузов.

              Коэффициенты функции расходов зависят от длины и технико-эксплуатационных характеристик участка. Для того, чтобы уменьшить влияние вида груза на функцию затрат, целенаправленно величину потоку измерять в вагонах.

              Для проверки оптимальности распределения потоков может быть использовано правило потенциалов, причем в нелинейном случае вместо длин участков c_st используют дифференциальные затраты по участкам, то есть производные расходов по потоку при данной ее величине. так, для базовых участков s-t

u_t – u_s = dЭ_st / dГ_st; (4.2)

для пустих

u_t – u_s  dЭ_st / dГ_st; (4.3)

для насичених

u_t – u_s  dЭ_st / dГ_st; (4.4)

              В некоторых простых случаях правило потенциалов позволяет быстро находить оптимальное решение.

              Предположим, что при оптимальном распределении потоков по каждой линии не превысит пропускной способности. Тогда обе линии базисные и соответственно (4.2)

u_Б – u_А= dЭ₁ / dГ₁; = dЭ₂ / dГ₂.

 Пример 1. Распределить по двум параллельным ходам суммарный грузопоток 50 млн.т. между станциями А и Б. Затраты при потоках больших 60% пропускной способности составляют: на 1-линии Е₁=3Г₁+0,01Г₁²; на 2-й лінии Е₂=2Г₂+0,03Г₂^2.

При этом пропускная способность 1-линии - 27 млн.т, 2-линии - 30 лн. т.

Решение

              Задачу решаем связываем методом потенциалов.

              1. Найдем дифференциальные затраты.

на 1-й линии               dЕ₁/dГ₁ = 3 + 0,02Г₁;

на 2-й линии               dЕ₂/dГ₂ = 2 + 0,06Г₂.

2. Так, при оптимальному распределению потока дифференциальные затраты на параллельных линиях должны быть равны. Пользуясь этим, составляем систему уравнений

Решив которую, получим Г₁=25, Г₂=25.

              Если бы оказалось, что один из потоков превысит пропускную способность (Г_k>d_k),, то приняли бы Г_k=d_k, а остаток общего потока пропустили бы по другой линии.