4. Методичні вказівки до розрахунку

Як приклад приведемо розрахунок циклу із заданими наступними параметрами в характерних крапках: р₁ = 0,3 МПа; V₁ = 0,3 м³/кг; p₂ = 1,0 МПа; T₃ = 473 К і наступним типом термодинамічних процесів, що складають даний цикл:

1–2  S = const

2–3  V = const

3–4  T = const

4–1  p = const

Ескіз термодинамічного циклу представлений на рис. 1.

Термодинамічний цикл, що розраховується

містить наступні процеси:

1-2 адіабатний

2-3 ізохорний

3-4 ізотермічний

4-1 ізобарний

Рис. 1 - Термодинамічний цикл

Визначимо температуру робочого тіла в крапці 1 (Т₁)

Вибираємо по додатку В теплоємність при постійному тиску = 1,005 кДж/(кг∙ К), теплоємність при постійному об’ємі = 0,718 кДж/(кг∙ К), що відповідає властивостям сухого повітря при t₁ = 40 .

Визначимо показник адіабати .

Визначимо показник політропи n і теплоємність С для кожного із процесів. Показник політропи n для процесів знайдемо з виразу

(1)

у яке замість теплоємності підставимо відповідні значення теплоємностей для даного процесу. Як відомо, для ізохорного процесу = , для ізобарного = , для ізотермічного = ∞, для адіабатного = 0. Підставивши відповідні значення у вираження (1) і виконавши перетворення, одержимо: для ізохорного процесу , для ізобарного , для ізотермічного , для адіабатного .

Отже, вихідними даними для розрахунку є:

р₁ = 0,30 МПа; р₂ = 1,0 МПа; V₁ = 0,3 м³/кг; Т₁ = 313,6 К; Т₃ = 473 К;

R_В = 287 кДж/(кг∙ К); k = 1,40; = 1,005 кДж/(кг∙ К); = 0,718 кДж/(кг∙ К);

; ; ; ; = 0; с_Т = ∞

4.1. Розрахунок р, V, Т у основних крапках циклу проведемо використовуючи співвідношення, що визначають зв'язок між основними термодинамічними параметрами робочого тіла, які можна представити в такий спосіб:

, (2)

, (3)

. (4)

Крім того, для розрахунку також буде необхідно і рівняння стану ідеального газу, що має наступний вид

. (5)

Отже, для т. 2 дано р₂ =1,0 МПа, визначимо V₂ і T₂.

Для визначення V₂ використаємо рівняння зв'язку параметрів в адіабатному процесі 1–2:

м³/кг.

Для визначення T₂ використаємо рівняння Клапейрона – Менделєєва

Для т. 3 дано Т₃ =473 К = 200 , а також V₂ = V₃ = 0,127 м³/кг.

Визначимо р₃ з рівняння співвідношення параметрів ізохорного процесу 2–3:

МПа.

Для т. 4 дано р₄ = р₁ = 0,30 МПа, Т₄ = Т₃ = 473 К = 200 . Визначимо V₄ з рівняння співвідношення параметрів ізотермічного процесу 3-4:

м³/кг.

Результати розрахунків p, V, T, зведемо в табл. 1.

Таблиця 1 - Результати розрахунку основних параметрів

Параметри Крапки	р, МПа	V, м3/кг	Т, К
1	0,30/0,30	0,3/0,3	313,6/315
2	1,0/1,0	0,127 /0,125	442,5/ 445
3	1,07/1,07	0,127 0,125	473/475
4	0,30/0,30	0,453 /0,455	473/475

4.2. Визначимо ∆u, ∆h, ∆S, q, l, l_o, α, для кожного із чотирьох процесів.

Всі вищевказані параметри визначимо використовуючи залежності, які представлені в Додатку Г.

Процес адіабатний 1-2

кДж/кг;

кДж/кг;

;

;

кДж/кг;

кДж/кг.

Величини α і не визначаємо, тому що в адіабатному процесі теплообмін відсутній, тобто

Процес ізохорний 2-3

кДж/кг;

кДж/кг;

кДж/(кг∙ К)

кДж/кг;

;

кДж/кг;

;

.

Процес ізотермічний 3-4

;

;

кДж/(кг∙ К);

кДж/кг;

кДж/кг;

кДж/кг;

;

.

Процес ізобарний 4-1

кДж/кг;

кДж/кг;

кДж/(кг∙ К);

кДж/кг;

кДж/кг;

;

;

.

Розраховані значення n, c, ∆u, ∆h, ∆S, q, l, l_o , α, для кожного із процесів зведемо в табл. 2.

Таблиця 2. - Значення параметрів процесів циклу

Параметри Процеси	N	с,			∆u,	∆h,	∆S,	q,	l,	lo,
1 – 2		0	–	–
2 – 3		0,718	1	0
3 – 4		∞	0	1
4 – 1		1,005	0,714	0,286
СУМА

4.3. Визначаємо сумарну кількість підведеної q₁ і відведеної q₂ теплот у циклі, роботу циклу l_ц, розположену роботу циклу l_оц , термічний к.к.д циклу , індикаторний тиск p_i.

кДж/кг;

кДж/кг;

кДж/кг;

;

кПа.

4.4. Будуємо цикл у координатах:

а) у координатах цикл представлений на рис. 2 і табл. 3.

Таблиця 3. - Значення параметрів в основних крапках

Крапки Параметри	1	2	3	4
р, МПа	0,3	1,0	1,07	0,3
lg p	- 0,523	0	0,029	- 0,523
V, м3/кг	0,3	0,127	0,127	0,453
lg V	- 0,523	- 0,896	- 0,896	- 0,344

б) у координатах p – V цикл представлений на рис. 3 і табл. 4.

Проміжні крапки а, а', а″, а'″ для адіабати 1–2 і крапки в, в', в″, в″' для ізотерми 3–4 отримані в такий спосіб: у логарифмічних координатах адіабата 1–2 і ізотерма 3–4 являють собою прямі лінії (рис. 2), тому для цих проміжних крапок відповідні величини тисків і питомих об’ємів одержують потенцируванням їхніх значень, узятих з координат lg p і lg V.

Рис. 2 - Цикл у координатах lg p – lg V

Рис. 3. – Цикл у координатах p-V

Таблиця 4 - Значення параметрів у проміжних крапках

Крапки Параметри	а	а'	а″	а'″	в	в'	в″	в″'
р, МПа	0,398	0,501	0,631	0,794	0,398	0,501	0,631	0,794
lg p	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1
V, м3/кг	0,243	0,207	0,176	0,148	0,339	0,269	0,221	0,170
lg V	-0,615	-0,685	-0,755	-0,830	-0,470	-0,570	-0,665	-0,770

в) у координатах T – S цикл представлений на рис. 4.

Для коректної побудови циклу в координатах T – S аналогічним образом визначаємо значення тисків і питомих об’ємів проміжних крапок Б и Б' для ізобари 4-1 (значення представлені в табл. 5), за допомогою яких визначимо температури в цих крапках і відповідні значення зміни ентропії (значення представлені в табл. 5).

К;

К;

кДж/(кг∙ К);

кДж/(кг∙ К).

Таблиця 5 - Значення параметрів у проміжних крапках

Параметри Крапки	р, Мпа	lg p	V, м3/кг	lg V	T, К	∆S, кДж/(кг К)
Б	0,30	- 0,523	0,331	- 0,48	345,6	- 0,130
Б'	0,30	- 0,523	0,398	- 0,40	415,6	- 0,315

Рис. 4 – Цикл у координатах T-S

4.5 Використовуючи p- V – і T - S діаграми, графічно визначимо величини, зазначені в п. 2 і п. 3 і порівняємо результати графічного й аналітичного розрахунків:

а) Роботи розширення, стиску й розположені знайдемо по графіках процесів, представленим на рис. 3. При цьому треба мати на увазі, що знак δl визначається з вираження δl= , тому що тиск p – величина позитивна, то знак δl визначається знаком dV. Якщо об’єм зменшується, то dV також має знак мінус, тобто робота відбувається над робочим тілом і δl також має знак мінус і навпаки.

Процес адіабатний 1-2

Площа, обмежена процесом 2-М–1, ординатами 2–2 і 1–1, а також віссю абсцис, еквівалентна роботі стиску l_1-2 . Після проведення додаткової лінії 2-N-1 на діаграмі циклу (рис. 3) ця площа може бути представлена як різниця площ прямокутної трапеції 2-N-1- і сегменти 2-N-1-М-2. Звісно, що цілком справедливим буде наступний запис

де – площа на діаграмі циклу еквівалентна роботі процесу, мм²;

(1-1'), (2-2'), (2'-1'), (2-N-1), (M-N) – Довжини відрізків на p – V діаграмі (рис. 3) мм.

Звідки кДж/кг

де M_p,v – масштаб p – V діаграми, що по рис. 3 дорівнює 50 Дж/(кг∙ мм²), тобто 1мм²= 50 Дж/кг

Знак мінус, тому що процес 1-2 це стиск, отже dV негативна.

кДж/кг.

Процес ізохорний 2-3

l_2-3= 0; тому що

мм²;

кДж/кг.

Процес ізотермічний 3-4

кДж/кг,

т. к. процес 3–4 – розширення, то і dV має знак плюс, отже й  l має знак плюс.

кДж/кг.

Процес ізобарний 4-1

мм²;

кДж/кг,

т. к. процес 4-1 – стиск, то dV має знак мінус, отже й  l має знак мінус.

, тому що .

Розраховані значення l і l_o графічним шляхом зведемо в табл. 2 у знаменники відповідних колонок;

б) Для кожного процесу, що становить цикл, дамо схему в T–S координатах і графічним методом визначимо u, h, q, n.

При графічному дослідженні процесів в T - S діаграмі для простоти їх приймають за прямі лінії.

Крім того необхідно мати на увазі наступне:

1. Знак теплоти визначається з вираження . Тому що абсолютна температура Т – величина завжди позитивна, то знак q визначається знаком dS. Якщо dS має знак плюс і q також буде мати знак плюс і навпаки.

2. Знак u визначається з вираження . Тому що - величина позитивна, то знак u визначається знаком dT. Температура зменшується, значить dT має знак мінус і u також має знак мінус і навпаки.

3. Знак ∆h визначається з вираження . Тому що c_p – величина позитивна, то знак ∆h визначається знаком dT. Якщо температура збільшується, значить dT має знак плюс і ∆h також має знак плюс і навпаки.

Процес адіабатний 1-2 (рис. 5)

Рис. 5 – Схема розрахунку процесу 1–2 в T - S діаграмі

При визначенні u, ∆h і n необхідно нанести додатково процеси: ізобарний і ізохорний. Для визначення зміни ентропії для ізохорного і ізобарного процесів в інтервалі зміни температур адіабатного процесу 1-2

кДж/(кг∙ К)

кДж/(кг∙ К)

Як видно з рис. 5 процес 1-2 є адіабатним. Площа під изохорой 2–2_V еквівалентна зміні внутрішньої енергії в процесі 1–2.

Таким чином, маємо:

Площа під ізобарою 2-2р еквівалентна зміні энтальпии в процесі 1-2, тобто

З рис. 5 слідує, що q_1-2 = 0.

Показник політропи n графічно по T - S діаграмі може бути визначений у такий спосіб.

З початкової крапки процесу т. 1 (рис. 5) проводиться ізотерма, а з кінцевої т. 2 – ізобара і изохора до перетинання із проведеною ізотермою в т. 2_р и т.2_v Відношення відрізків 1–2_р до 1–2_v і дає чисельне значення. Дійсно, відрізки 1–2_р і 1–2_v можна розглядати, як зміна ентропії в ізотермічних процесах 1–2_р і 1–2_v .

Показник політропи позитивний, якщо т. 2_р и т.2_v розташовуються по одну сторону від т. 1. Причому, якщо т. 2_р и т.2_v розташовуються ліворуч від т. 1, то n>1, а якщо праворуч, то 0 < n < 1. Якщо ж т. 1 розташовується між т. 2_р и т.2_v , то n < 0.

Це легко одержати з вираження (1). Як відомо, теплота підведена в ізобарному процесі 2-2_р може бути розрахована по формулі , але у свою чергу q_2-2p можна виразити і як . Дорівнюючи ліві частини q_2-2p цих виражень, одержимо . Звідки . Аналогічно одержимо співвідношення і для ізохорного процесу 2–2_v .

З огляду на, що = 0, і підставивши відповідні значення і с_v у вираження (1), одержимо:

.

Процес ізохорний 2-3 (рис. 6).

Для ізохорного процесу 2-3, як відомо, площа під изохорой 2-3 чисельно Дорівнює теплоті процесу 2-3 і одночасно зміні внутрішньої енергії цього ж процесу.

з табл. 2 дорівнює 0,048 кДж/(кг К);

кДж/(кг∙ К)

кДж/кг;

Рис. 6 – Схема розрахунку процесу 2–3 в T- S діаграмі

Показник політропи n для ізохорного процесу 2–3 визначимо в такий спосіб

.

Отже, в T- S діаграмі графічне визначення показника політропи n змісту не має, тому що в знаменнику дробі нуль.

Процес ізотермічний 3-4 (рис. 7)

Рис. 7 – Схема розрахунку процесу 3–4 в T - S діаграмі

;

;

з табл. 2 дорівнює 0,365 кДж/(кг К);

кДж/кг.

Показник політропи n для ізотермічного процесу 3–4 визначимо в такий спосіб.

Тому що Т₄ = Т₃ , то зміна ентропії для ізохорного і ізобарного процесів у цьому інтервалі температур буде дорівнювати нулю, (∆S_4V = 0; ∆S_4p = 0). Це слідує з виражень

;

Отже, провести изохору і ізобару з т. 4 для ізотермічного процесу 3–4 не можна. Тому, підставивши відповідні значення ; ; у формулу (1), маємо:

.

Процес ізобарний 4-1 (рис. 8)

Рис.8 – Схема розрахунку процесу 4–1 в T- S діаграмі

Для ізобарного процесу як відомо, вся підведена теплота витрачається на зміну энтальпии. Отже, під ізобарою 4-1 площа 4-1-1'-4' еквівалентна теплоті процесу 4-1 і зміні энтальпии процесу 4-1

де з табл. 2 кДж/(кг∙ К).

Під изохорой 4-1v площа еквівалентна внутрішньої енергії процесу 4-1

де кДж/( кг∙ К).

Показник політропи n для ізобарного процесу 4–1 знайдемо в такий спосіб:

.

Отже, в T- S діаграмі графічне визначення показника політропи n змісту не має, тому що в чисельнику дробі 0.

Додаток А