Решение открытых транспортных задач

Транспортная задача называется открытой, если выполняется условие:

(3.8.9) или (3.8.10).

Чтобы решить открытую транспортную задачу, ее приводят к закрытой ТЗ.

1) Пусть для открытой ТЗ выполняется условие (3.8.9). Это означает, что общие запасы груза меньше общих потребностей , следовательно, в оптимальном плане перевозок не все потребности будут удовлетворены.

Для приведения такой ТЗ к закрытому виду вводят фиктивного поставщика c «запасом» груза и нулевыми тарифами на перевозку груза от «поставщика» ко всем потребителям , …, .

В распределительной таблице добавляют снизу (m+1)-ю строку, в которой запасы груза равны указанному значению , а тарифы на перевозку равны нулю.

В оптимальном плане перевозок такой открытой ТЗ загрузка любой клетки в строке для фиктивного поставщика указывает на недопоставку груза соответствующему потребителю.

2) Если же для открытой ТЗ выполняется условие (3.8.10), то это означает, что общие запасы груза больше общих потребностей .

Для приведения этой ТЗ к закрытому виду вводят фиктивного потребителя c «потребностью» в грузе и нулевыми тарифами на перевозку груза от всех поставщиков к фиктивному потребителю.

В распределительной таблице добавляют справа (n+1)-й столбец, в котором потребности в грузе равны указанному значению , а тарифы на перевозку к фиктивному потребителю равны нулю.

В оптимальном плане перевозок такой транспортной задачи загрузка любой клетки в столбце для фиктивного потребителя указывает на остаток нераспределенного груза у соответствующего поставщика.

Пример. Решить открытую транспортную задачу.

Таблица 3.8.9 – Условие открытой транспортной задачи

Запасы груза	Потребности в грузе
	20	45	30
75	7	3	6
40	4	8	2
35	1	5	3

Решение

Объем запасов превышает объем потребностей на 55 единиц, следовательно, задача открытая.

Значит, в любом плане перевозок данной задачи не все запасы будут вывезены.

Введем дополнительный фиктивный пункт назначения с объемом потребностей и значениями затрат на перевозку . Получим закрытую транспортную задачу, оптимальное решение которой найдем методом потенциалов.

Исходный план перевозок, найденный методом «минимального элемента», представлен в таблице 3.8.10. Сначала заполняем клетки, соответствующие реально возможным перевозкам (т.е. не клетки последнего столбца).

Таблица 3.8.10 – Оптимальный план перевозок

Запасы груза	Потребности в грузе
	20	45	30	55
75	7	3	6	0
		45		30
40	4	8	2	0
			30	10
35	1	5	9	0
	20			15

Число заполненных клеток , полученное решение опорное. Можно доказать, что исходное решение сразу получилось оптимальным.

Наименьшее значение целевой функции (общих транспортных затрат) равно .

Значения в последнем столбце «фиктивного потребителя» означают, что в пункте останется не вывезенным 30 ед. груза, в пункте останется не вывезенным 10 ед. груза, в пункте останется не вывезенным 15 ед. груза.