13

Лекция 3 транспортные задачи Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее математическая модель

Постановка задачи. В пунктах отправления находится однородный груз в количествах , который должен быть отправлен потребителям в количествах . Известны транспортные расходы (тарифы) на перевозку единицы продукции из каждого пункта в пункт , образующие матрицу транспортных расходов . Требуется найти такой план перевозок, при котором весь груз будет вывезен, все потребности удовлетворены, а стоимость всего перевезенного груза наименьшей.

Исходные данные транспортной задачи записывают в виде распределительной таблицы (таблица 1).

Таблица 1 - Распределительная таблица

Запасы груза	Потребности в грузе
	b1	b2	...	bn
a1	c11	c12	...	c1n
a2	c21	c22	...	c2n
...	...	...	...	...
am	cm1	cm2	...	cmn

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы сумма запасов груза равнялась сумме потребностей в грузе:

(1)

В этом случае транспортная задача называется закрытой.

Составим математическую модель транспортной задачи. Обозначим через количество груза, перевозимого из пункта в пункт . По смыслу, переменные неотрицательны: . (2)

Целевая функция означает общие транспортные расходы, которые должны быть наименьшими:

. (3)

Система ограничений включает условия вывоза груза и доставки груза. Возможны три случая.

1. Если запас груза равен потребностям , то система ограничений состоит из уравнений:

(условия вывоза груза) (4)

(условия доставки груза) (5)

2. Если запас груза больше потребностей , то не все запасы будут вывезены, тогда условия (4) примут вид неравенств .

3. Если же запас груза меньше потребностей , то не все потребности будут удовлетворены, тогда условия (5) доставки груза примут вид неравенств .

Математическая постановка транспортной задачи: среди множества неотрицательных решений системы линейных уравнений (4) и (5) найти такое решение , при котором линейная функция (.3) принимает минимальное значение.

План перевозок называется допустимым, если он удовлетворяет ограничениям (2), (4), (5). Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции , называется оптимальным.

Построение исходного опорного плана перевозок

Транспортные задачи решаются с помощью общего приема последовательного улучшения плана перевозок. Он включает в себя следующие этапы:

1. Построение исходного плана перевозок.

2. Проверка плана перевозок на оптимальность.

3. Улучшение плана перевозок.

Рассмотрим два метода построения первоначального плана перевозок в распределительной таблице.

Метод «северо-западного угла». Будем распределять груз, начиная с верхней левой клетки, условно называемой северо-западной: в клетку (1;1) заносят число, минимальное из чисел и , т.е. .

Если , то и потребности пункта полностью удовлетворены, первый столбец в дальнейшем в расчет не принимается. После этого заполняется клетка (1;2) числом .

Если , то , запас груза в полностью исчерпан и первая строка в дальнейшем не участвует в расчетах. После этого заполняется клетка (2;1) числом .

Процесс продолжается до тех пор, пока не исчерпаются все ресурсы и полностью не будет удовлетворен спрос . Последней заполняется клетка . Незаполненным клеткам таблицы соответствуют значения переменных (свободные переменные), а заполненным – значения переменных (базисные переменные).

Число заполненных кленок в опорном плане перевозок должно быть ровно . Если в процессе заполнения таблицы одновременно исчерпывается запас груза и полностью удовлетворен спрос (одновременно исключается строка и столбец), то в соседнюю клетку с только что заполненной клеткой нужно вписать число 0 (он называется базисным нулем). Клетку с базисным нулем выбирают так, чтобы эта клетка не образовала цикла с ранее занятыми клетками цикла.

В общем случае цикл представляет собой набор клеток распределительной таблицы, в котором две клетки расположены в одной строке или одном столбце. Одна из клеток свободная, остальные – заняты.

Клетки можно соединить замкнутой ломаной линией, состоящей из звеньев, пересекающихся под прямым углом. Каждое звено соединяет две клетки строки (столбца). В цикле всегда четное число клеток (вершин).

Известно, что если из занятых клеток образуется цикл, то план перевозок не является опорным. Цикл строится лишь для свободной клетки. Примеры некоторых циклов показаны на рис. 3.8.1.

Рис. 3.8.1. Примеры циклов в распределительной таблице

Метод «минимального элемента». В методе «северо-западного угла» выбор в распределительной таблице клеток для заполнения не учитывает стоимости перевозок единицы груза , поэтому такой план перевозок далек от оптимального плана. Метод минимального элемента устраняет этот недостаток, т.к. на каждом шаге построения опорного решения выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки.

В распределительной таблице просматриваются тарифы перевозок и в первую очередь заполняется клетка с минимальным значением тарифа. В нее заносится число . Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую поставщику , запасы которого полностью исчерпаны, или столбец, соответствующий потребителю , спрос которого полностью удовлетворен.

Из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим тарифом. Процесс распределения груза заканчивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос потребителей полностью удовлетворен. В результате получаем опорный план, который должен содержать заполненных клеток.

Рассмотрим пример построения исходного опорного решения описанными способами.

Пример. Построить для транспортной задачи (таблица 3.8.2) планы перевозок методом «северо-западного угла» и методом «минимального элемента».

Таблица 2 - Распределительная таблица

Запасы груза	Потребности в грузе
	120	50	190	110
160	7	8	1	2
140	4	5	9	8
170	9	2	3	6

Заметим, что сумма запасов груза 160 + 140 + 170 = 470 равна сумме потребностей 120 + 50 + 190 + 110 = 470, следовательно, данная задача закрытая. Число пунктов отправления , число пунктов назначения . Значит, опорный план определяется 3 + 4 – 1 = 6 заполненными клетками.

Построим план методом «северо-западного угла», начиная заполнение с клетки (1;1). В нее заносим значение . Так как , то потребности первого потребителя в сырье полностью удовлетворены и первый столбец «закрывается». Но в пункте остался груз в количестве 160 – 120 = 40. поэтому в клетку (1;2) помещаем число . В результате весь груз из первого пункта отправления будет вывезен и первая строка «закрыта». Продолжаем процесс заполнения распределительной таблицы:

;

;

;

.

В результате распределительная таблица заполнена (таблица 3.8.3). В ней число занятых клеток (1;1), (1;2), (2;2), (2;3), (3;3), (3;4) равно 6.

Таблица 3.8.3 - План перевозок (метод «северо-западного угла»)

Запасы груза	Потребности в грузе
	120	50	190	110
160	7 120	8 40	1	2
140	4	5 10	9 130	8
170	9	2	3 60	6 110

Для плана стоимость перевозок груза равна ден. ед.

Теперь построим план перевозок методом «минимального элемента».

Таблица 3.8.4 - План перевозок (метод «минимального элемента»)

Запасы груза	Потребности в грузе
	120	50	190	110
160	7	8	1 160	2
140	4 120	5	9	8 20
170	9	2 50	3 30	6 90

Построение плана начинаем с клетки, которой соответствует наименьший тариф – это клетка (1;3), тариф . Если таких клеток несколько, то выбирают ту, в которой можно вписать наибольшее число . В клетку (1;3) занесем число и исключаем из дальнейшего рассмотрения первую строку (весь груз из вывезен).

Из оставшихся тарифов наименьшим является . В клетку (3;2) записываем . В этом случае из рассмотрения исключаем второй столбец (потребности полностью удовлетворены), продолжаем аналогично процесс построения опорного плана:

;

;

;

.

Итак, распределительная таблица заполнена. Клетки заполнялись в последовательности: (1,3), (3,2), (3,3), (2,1), (3,4), (2,4).

В результате полного распределения груза получаем исходный план перевозок , для которого число занятых клеток равно 6, а стоимость перевозок равна

ден. ед.

Заметим, что 1530 < 3220, поэтому план перевозок, построенный методом «минимального элемента», лучше, чем план, построенный методом «северо-западного угла».