Образцы решения примеров

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Пример 1. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения .

Положим . Тогда . Умножая на , а затем, интегрируя обе части равенства, получаем:

,

откуда общее решение уравнения, где произвольная постоянная.

Пример 2. Найти решение задачи Коши .

Найдем сначала общее решение уравнения. Имеем:

общее решение.

Воспользуемся теперь начальными условиями для определения постоянной . Полагая в общем решении получим . Следовательно, решение задачи Коши (или, что то же самое, частное решение, удовлетворяющее начальному условию).

Пример 3. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Интегрируя обе части равенства

,

получаем общий интеграл ДУ.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пример 4. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Разделим переменные, поделив обе части уравнения на . Заметим, что для всех . В результате деления получаем

.

Интегрируя обе части последнего равенства, имеем:

,

или общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 5. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Заменим на и запишем данное уравнение в виде

.

Разделим переменные, поделив обе части уравнения на и, предполагая, что . При этом получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Интегрируя обе части последнего уравнения, последовательно получаем

,

или общий интеграл дифференциального уравнения.

Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что не является решением уравнения.

Замечание. Для упрощения записи (а также с целью избавиться от логарифмов и модулей) общего интеграла часто применяют следующий прием: в выражении произвольную постоянную заменяют слагаемым , где ; это не приводит к потере решений, поскольку может принимать любое значение от до . Теперь новое выражение можно переписать в виде , откуда, потенцируя, получаем

.

При этом знак абсолютной величины в правой части можно опустить: левая часть всегда положительна; если , то и константу будем брать положительной, а при выбираем .

Пример 6. Найти решение задачи Коши .

Заменив на , запишем уравнение в виде

.

Предположим, что , и разделим обе части уравнения на . При этом получим

.

Интегрируя обе части уравнения, имеем:

.

Используя начальные условия , получим

.

Таким образом, решением задачи Коши является частный интеграл

.

3. Однородные дифференциальные уравнения

Пример 7. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Обозначим ; тогда , откуда . Совершив замену переменной в исходном уравнении, получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделив обе части уравнения на , предполагая, что это выражение не обращается в нуль, и проинтегрируем полученное равенство:

.

Отсюда получаем общий интеграл исходного ДУ

.

Если , то , или . Непосредственной подстановкой в исходное уравнение легко убедиться, что является решением уравнения при любом . Это решение не может быть получено из общего интеграла при конкретном числовом значении произвольной постоянной . Его называют особым решением.

Пример 8. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения .

Сделаем подстановку ; тогда . Получаем уравнение с разделяющимися переменными

.

В последнем уравнении разделим переменные, умножив обе части на . Имеем:

общий интеграл ДУ.

Пример 9. Найти решение задачи Коши .

Разделив уравнение на , видим, что правая часть зависит от отношения переменных:

,

следовательно, исходное уравнение является однородным ДУ. Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Делим обе части последнего уравнения на , предполагая, что это выражение отлично от нуля:

общий интеграл уравнения.

Определим постоянную , используя начальные условия . Имеем: . Таким образом, искомый частный интеграл принимает вид

или

и, окончательно, . Последнее выражение, поскольку оно разрешено относительно , называют уже частным решением.

Пример 10. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

.

Разделив на числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части уравнения, получим

.

Заметим, что правая часть зависит от отношения , следовательно, данное ДУ является однородным. Осуществляя стандартную подстановку ,

получаем уравнение с разделяющимися переменными:

общий интеграл ДУ.