2. Уточнение понятий общего и частного решений

Определение 3. Общим решением уравнения в некоторой области D плоскости называется функция , где C – произвольная постоянная, если выполняются следующие два условия:

1) для любого значения C функция является решением уравнения ;

2) для любой точки существует единственное значение постоянной такое, что справедливо равенство .

Если в общем решении зафиксирована константа C, то получившаяся функция называется частным решением. Задание начального условия позволяет определить значение постоянной C; она находится из равенства .

В некоторых случаях процесс решения приводит не к явному выражению для общего решения, а к соотношению вида , определяющему как неявно заданную функцию от . Такое соотношение называется общим интегралом ДУ. Частное решение, представленное в неявном виде, называется частным интегралом.

3. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнением с разделяющимися переменными называется ДУ вида

(6)

или вида

. (7)

Уравнение (7) приводится к виду (6) умножением обеих его частей на . Уравнение (6) решается путем разделения переменных, для чего нужно поделить левую и правую часть (6) на . Интегрируя полученное ДУ, найдем общий интеграл уравнения (6). При разделении переменных предполагается, что . Если функции и имеют нули, то постоянные , где , могут являться решениями ДУ (6), что проверяется их подстановкой в (6). Эти дополнительные решения не всегда содержатся в общем интеграле уравнения (6).

4. Однородное уравнение. Функция называется однородной функцией n-го измерения, если при всех . Однородным называется ДУ одного из двух видов: 1) , где однородные функции одного измерения; 2) , где однородная функция нулевого измерения. В частности, уравнение вида является однородным, так как однородная функция нулевого измерения: . Однородное ДУ интегрируется заменой , где новая неизвестная функция, отсюда . После подстановки этих выражений в ДУ получим уравнение с разделяющимися переменными относительно .

Рассмотрим уравнение вида

. (8)

При

его можно свести к однородному с помощью замен . Постоянные и нужно выбрать так, чтобы уничтожить свободные члены в числителе и знаменателе дроби под знаком функции . В результате получим однородное уравнение . В случае

ДУ (8) приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой .

5. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется ДУ вида

. (9)

Сделаем подстановку , здесь . Имеем ; (9) запишется так: ;

. (10)

Найдем какое-либо ненулевое решение вспомогательного ДУ (это уравнение с разделяющимися переменными, и оно имеет положительное частное решение ). Подставив в (10) , придем к уравнению с разделяющимися переменными или . Если общее решение этого уравнения, то общее решение ДУ (9) найдем в виде .

6. Линейное ДУ первого порядка. Линейное ДУ первого порядка является частным случаем уравнения Бернулли (при m=0), поэтому для его интегрирования также можно применить подстановку .

7. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка называется уравнение вида

(11)

(при условии, что присутствует в левой части (11)), . Решением ДУ (11) на интервале называется любая функция , определенная и раз дифференцируемая на , которая при подстановке в уравнение (11) обращает его в тождество на . Общее решение ДУ n-го порядка – это функция , которая при всех (допустимых) значениях является решением данного ДУ. При подстановке в общее решение вместо определенных числовых значений получаем частное решение ДУ. Начальные условия для ДУ n-го порядка имеют вид

, (12)

где заданные числа. Решить задачу Коши для ДУ высшего порядка – это значит найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Сформулируем теорему Коши для ДУ n-го порядка, разрешенного относительно n-ой производной

. (13)

Теорема Коши. Пусть функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные в открытой области D пространства . Тогда для любой точки существует решение задачи Коши (12), (13). Это решение единственно, т.е. если другое решение той же задачи Коши, то для всех из пересечения интервалов, на которой определены и .

Во многих случаях решение ДУ высшего порядка можно свести к решению ДУ более низкого порядка. Рассмотрим несколько типов ДУ, допускающих понижение порядка.

1⁰. Уравнение вида . Интегрирование по обеих частей данного ДУ понижает его порядок на: . Применив этот прием раз, найдем выражение неизвестной функции через и произвольные постоянные , т.е. общее решение уравнения.

2⁰. Уравнение вида (не содержащее явным образом функцию и, возможно, несколько ее производных порядка ниже ). Подстановкой порядок ДУ понижается на единиц:

. (14)

Пусть общее решение ДУ (14). Возвращаясь к функции , получаем уравнение типа 1⁰ , которое решается k-кратным интегрированием обеих частей.

3⁰. Уравнение вида (не содержащее явно ). Подстановка понижает порядок уравнения на 1, поскольку при выражается через : и т.д.

Уравнение вида

(15)

называется линейным ДУ n-го порядка. Предполагается, что функции определены и непрерывны на некотором интервале . Если , уравнение (15) называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное ДУ

, (16)

соответствующее неоднородному уравнению (15). Известно, что ДУ (16) всегда имеет n решений , образующих линейно независимую на систему функций. Такая система решений уравнения (16) называется фундаментальной. Это название объясняется тем фактом, что общее решение ДУ (16) имеет вид , где произвольные постоянные. Общее решение линейного неоднородного уравнения (15) представляется формулой или , где какое-либо частное решение ДУ (15). Таким образом, для нахождения общего решения линейного неоднородного ДУ достаточно знать фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного уравнения и одно (любое) частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что фундаментальная система решений ДУ уже известна. Универсальным способом нахождения является метод вариации произвольных постоянных, в котором частное решение (15) ищется в виде , где дифференцируемые функции аргумента . Производные этих функций находятся из системы линейных уравнений

которая имеет единственное решение. Зная , можно найти , а, значит, и .

Как видим, при решении линейного ДУ высшего порядка ключевую роль играет фундаментальная система решений соответствующего ему однородного ДУ. К сожалению, не существует общего метода построения фундаментальной системы ДУ (16). Такой метод можно указать в случае, когда в (16) функции постоянны, . Итак, рассмотрим линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами

, (17)

здесь постоянные числа. Все решения ДУ (17) определены на R. Характеристическим уравнением этого ДУ называется уравнение

. (18)

Как алгебраическое уравнение n-ой степени оно имеет n (вообще говоря, комплексных) корней. Пусть все корни уравнения (18), кратность корня тогда ,

.

Каждому действительному корню поставим в соответствие функций , а каждой паре комплексно сопряженных корней (в этом случае ) - функций

( в частности, простому действительному корню соответствует одна функция , а простым комплексным корням две функции ). Полученные таким образом n функций образуют фундаментальную систему решений ДУ (17). Если требуется решить линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами

, (19)

то его частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, а в некоторых случаях – более простым методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим две ситуации, в которых применим последний метод.

1) Правая часть уравнения (19) имеет вид многочлен (здесь и далее индекс в обозначении многочлена указывает его степень). Тогда частное решение ДУ (19) следует искать в виде , где кратность корня характеристического уравнения (18), многочлен с неопределенными (т.е. буквенными) коэффициентами.

2) Пусть в уравнении (19)

, (20)

где многочлены. Обозначим через кратность корня уравнения (18), а через наибольшее из чисел . Тогда можно найти в виде , в котором многочлены с неопределенными коэффициентами.

Пояснения. 1. Если число в первой ситуации или во второй не является корнем уравнения (18), то множитель в выражение не вводят (т.е. считают, что ). 2. В виде (20) может отсутствовать (при ) или (при ). В первом случае полагают , во втором . Подчеркнем, что в обоих случаях в выражение вводят и , и .

Пусть правая часть уравнения (15) представляется в виде суммы нескольких функций: , и пусть частное решение ДУ

,

. Тогда сумма этих решений является частным решением уравнения (15). Высказанное утверждение называется принципом суперпозиции решений и может быть использовано при решении линейных неоднородных ДУ.