МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса
(ЮРГУЭС)
Дифференциальные уравнения
Методические указания
к самостоятельной работе студентов 1 – 2 курсов
всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения
ШАХТЫ 2001
СОСТАВИТЕЛИ
Доцент кафедры математики, к.т.н Алексеенко Л.Д.
Доцент кафедры математики , к.ф.-м.н. Михайлов А.Б.
Старший преподаватель кафедры математики Михайлова И.Д.
Доцент кафедры математики, к.т.н. Саакян Г.Р.
Методические указания предназначены для студентов 1 – 2 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения. Они имеют целью помочь студентам в самостоятельной работе, при подготовке к контрольным работам и/или к экзамену. Методические указания содержат теоретический материал по теме «Дифференциальные уравнения», образцы решения примеров, а также примеры для самостоятельного решения.
СОДЕРЖАНИЕ
Теория .......................................................................................................................4
Образцы решения примеров……………………...................................................11
Задачи для самостоятельного решения ,................................................................18
ТЕОРИЯ
Общие понятия
1. Дифференциальные
уравнения и его порядок.
В курсе элементарной математики вы
встречались с уравнениями вида
,
содержащими неизвестную величину
;
задача заключалась в том, чтобы найти
все значения величины
,
удовлетворяющие заданному соотношению.
Однако, ряд важных задач – как сомой
математики, так и ее приложений –
приводит к необходимости решать уравнения
более сложного вида, где неизвестной
является не величина
,
а некоторая функция
,
причем в уравнение входят, наряду с
и
,
еще и производные
до какого-то порядка
.
Приведем примеры таких уравнений:
.
Определение 1. Уравнение, связывающее независимую переменную с неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка включительно, называется дифференциальным уравнением (ДУ) -го порядка.
Подчеркнем: порядком ДУ называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в это ДУ.
Все приведенные выше уравнения являются дифференциальными, причем первое из них имеет порядок 1, второе – порядок 3, третье – порядок 2.
ДУ -го порядка записывают обычно в виде
. (1)
Если неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то его называют обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же уравнение содержит частные производные искомой функции, то его называют дифференциальным уравнением в частных производных. Здесь мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.