Общие теоремы динамики для материальной точки, системы и твердого тела Количество движения

Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость .

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:

, ,

Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма количеств движений отдельных точек системы.

Единицей измерения количества движения в СИ является –

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс.

В проекциях на оси координат:

,

Элементарный и полный импульс силы

Действие силы на материальную точку в течении времени можно охарактеризовать элементарным импульсом силы .

Полный импульс силы за время , или импульс силы , - это вектор, который определяется по формуле . (Полный интеграл за время от элементарного импульса).

В частном случае, если сила постоянна и по величине , и по направлению ( ), .

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

Единицей измерения импульса в СИ является –

Теорема об изменении количества движения Теорема об изменении количества движения точки

Теорема. Первая производная по времени от количества движения точки равна равнодействующей активных сил и реакций связей, действующих на материальную точку.

Запишем основной закон динамики в виде . Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.

Тогда , или (*)

В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:

Теорема импульсов (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Умножим левую и правую части уравнения (*) на и получим

(**)

В проекциях на координатные оси получаем:

, , .

Теорема импульсов (в интегральной форме). Изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до получаем:

В проекциях на координатные оси получаем:

, ,

Теорема об изменении количества движения механической системы

Эта теорема существует в трех различных формах.

Теорема. Первая производная по времени от вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил, действующих на материальные точки этой системы.

,

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

, , .

Теорема. (в дифференциальной форме). Дифференциал количества движения системы равен сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Умножим левую и правую части уравнения (6.1) на и получим

,

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

, , .

Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до получаем:

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

, , .

Теорему об изменении количества движения обычно используют для решения задач, по условию которых требуется установить зависимость между изменениями массы, перемещением тел системы и их скорости.