8.2. Построение уравнения прямой регрессии

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей (в теле таблицы значения m_ij – количество раз, когда встретились пары чисел (x, y)):

	y1	y2	y3	y4	y5
x1	2	3	-	-	-	5
x2	3	8	2	-	-	13
x3	-	8 + l	12 + k	-	-	20 + (l + k)
x4	-	-	16 – l	14 – k	-	30 – (l + k)
x5	-	-	9	10	-	19
x6	-	-	3	6	1	10
x7	-	-	-	1	2	3
	5	19 + l	42 + k – l	31 – k	3	N = 100

где x_i = 0,2 · l + (i – 1) · 0,3 · k,

y_j = 0,5 · l + (j – 1) · 0,2 · k.

Требуется:

1. Найти и σ_y для выборки

yj	y1	y2	y3	y4	y5
	5	19 + l	42 + k – l	31 – k	3

Примечание. Расчёты и σ_y можно выполнить аналогично расчётам и σ_x в задаче 8.1 (пункт 2).

2. Построить уравнение прямой регрессии Y на X в виде ;

и σ_x следует взять из задачи 8.1 (пункт 2).

3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки

(x_i, y_j) и построить прямую .

Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется найти в виде

, где r – выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

,

где

Решение типовой задачи 8.1. (обработка данных одномерной выборки)

Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:

i	1	2	3	4	5	6	7
xi	0,2	1,4	2,6	3,8	5	6,2	7,4
	5	13	25	25	19	10	3

где x_i – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения x_i.

1. Построить полигон относительных частот .

Решение. Вычислим относительные частоты :

xi	0,2	1,4	2,6	3,8	5	6,2	7,4
	5	13	25	25	19	10	3
Wi	0,05	0,13	0,25	0,25	0,19	0,1	0,03

Построим полигон относительных частот:

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_x и среднее квадратическое отклонение σ_x.

Решение. Для вычисления , D_x и σ_x воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты:

,

где c_x – значение x_i, которому соответствует наибольшая частота, c_x = x₄ = 3,8 (max m_i = m₄ = 25), шаг выборки h_x = 1,2.

Тогда, вычисляя u_i, получим условный ряд:

ui	-3	-2	-1	0	1	2	3
mi	5	13	25	25	19	10	3

Для этого ряда составим расчетную таблицу:

i	ui	mi	miui	miui2	mi (ui + 1)2
1	-3	5	-15	45	20
2	-2	13	-26	52	13
3	-1	25	-25	25	0
4	0	25	0	0	25
5	1	19	19	19	76
6	2	10	20	40	90
7	3	3	9	27	48
		100	-18	208	272

Проверка:

 m_iu_i² + 2 m_iu_i +  m_i =  m_i (u_i + 1)²; 208 + 2 · (-18) + 100 = 272.

Найдем условные характеристики:

; ; .

Получим характеристики исходного вариационного ряда с использованием равенств x_i = h_xu_i + c_x:

; D_x = h_x²D_u = 2,949; _x = h_x_u = 1,72.

3. По критерию χ² (Хи-квадрат) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости  рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия χ²_набл и определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении выдвинутой гипотезы.

Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, используя критерий χ² (Пирсона) при α = 0,05.

В основе этого критерия лежит сравнение частот m_i и теоретических частот m_i^T, вычисленных в предположении нормального распределения генеральной совокупности. Критерий χ² не подтверждает однозначно правильность или неправильность гипотезы, а только устанавливает ее согласие или несогласие с данными выборки при заданном уровне значимости α. В качестве критерия выбирается величина

.

Ее значение сравнивают с критическим значением χ²_кр, определяемым по соответствующей таблице значений при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k = p – r – 1, где p – число интервалов, r = 2 – число параметров нормального закона распределения (a и ). В данном случае p = 7, r = 2, k = 7 – 2 – 1 = 4.

По таблице распределения случайной величины χ² с числом степеней свободы k = 4 при уровне значимости α = 0,05 находим χ²_кр = 9,49.

Если в результате вычислений на основании выборочных данных наблюдаемого значения критерия χ²_набл выполняется неравенство χ²_набл < χ²_кр, то выдвигаемая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности при заданном α = 0,05 принимается. Если же χ²_набл > χ²_кр, то гипотезу отвергают.

Применим критерий Пирсона к данной выборке. Для этого составим расчетную таблицу, находя теоретические частоты m_i^T для нормального распределения по формуле

,

где – функция нормального распределения.

xi		(zi)	miT	mi	mi – miT
0,2	-1,97	0,06	4,42	5	0,58	0,076
1,4	-1,27	0,20	13,73	13	-0,73	0,038
2,6	-0,57	0,37	26,15	25	-1,15	0,051
3,8	0,13	0,44	30,58	25	-5,58	1,017
5	0,82	0,31	21,94	19	-2,94	0,393
6,2	1,52	0,14	9,66	10	0,34	0,012
7,4	2,22	0,04	2,61	3	0,39	0,059
						1,65

Сумма чисел последнего столбца таблицы дает χ²_набл = 1,65.

Так как χ²_набл = 1,65 < χ²_кр = 9,49, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Таким образом, с уровнем значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами a =  = 3,58, _x = 1,72.

Ответ. = 3,58; D_x = 2,949; _x = 1,72; гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Решение типовой задачи 8.2. (построение уравнения прямой регрессии)

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей:

	j	1	2	3	4	5
i	yj xi	0,5	1,3	2,1	2,9	3,7
1	0,2	2	3				5
2	1,4	3	8	2			13
3	2,6		9	16			25
4	3,8			15	10		25
5	5			9	10		19
6	6,2			3	6	1	10
7	7,4				1	2	3
		5	20	45	27	3	N = 100

1. Найти и σ_y для выборки

yj	0,5	1,3	2,1	2,9	3,7
	5	20	45	27	3

Решение. Для вычисления , D_y и σ_y воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты:

,

где c_y – значение y_j, которому соответствует наибольшая частота, c_y = y₃ = 2,1 (max m_j = m₃ = 45), шаг выборки h_y = 0,8.

Тогда, вычисляя v_j, получим условный ряд:

vj	-2	-1	0	1	2
mj	5	20	45	27	3

Для этого ряда составим расчетную таблицу:

j	vj	mj	mjvj	mjvj 2	mj (vj + 1)2
1	-2	5	-10	20	5
2	-1	20	-20	20	0
3	0	45	0	0	45
4	1	27	27	27	108
5	2	3	6	12	27
		100	3	79	185

Проверка:

 m_jv_j ² + 2 m_jv_j +  m_j =  m_j (v_j + 1)²; 100 + 2 · 3 + 79 = 185.

Найдем условные характеристики:

; ; .

Получим характеристики исходного вариационного ряда с использованием равенств y_j = h_yv_j + c_y:

; D_y = h_y²D_v = 0,505; _y = h_y_v = 0,71.

2. Построить уравнение прямой регрессии Y на X в виде .

Решение. Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

.

Значения x_i и частоты их появления совпадают с данными для задачи 8.1. Следовательно, = 3,58; _x = 1,72; = 2,12; _y = 0,71.

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

, где .

Для нахождения воспользуемся корреляционной таблицей

	j	1	2	3	4	5
i	yj xi	0,5	1,3	2,1	2,9	3,7
1	0,2	2	3				5	0,98
2	1,4	3	8	2			13	22,54
3	2,6		9	16			25	117,78
4	3,8			15	10		25	229,9
5	5			9	10		19	239,5
6	6,2			3	6	1	10	169,88
7	7,4				1	2	3	76,22
		5	20	45	27	3	N = 100	 = 856,8

Из таблицы следует, что = 856,8 / 100 = 8,568.

Таким образом,

.

. Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

= 0,96 + 0,324x.

3. На графике изобразить корреляционное поле и построить прямую .

На декартовой плоскости Oxy нанести точки (x_i, y_j) и построить уравнение прямой регрессии Y на X: = 0,96 + 0,324x.