Примеры решения задач

1. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет ровно 9 очков.

Решение. Общее число элементарных исходов n=36. Число благоприятных исходов m=4 (3+6, 4+5, 5+4, 6+3). Вероятность:

Р(А) = n/m = 4/36 = 1/9  0.111

Ответ: вероятность того, что выпадет 9 очков, равна 0.111.

2. Две зенитные установки выпускают ракеты по самолету. Вероятность попадания первой ракеты 0.8, второй – 0.9. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Рассмотрим события: А – попадание первой ракеты, В – попадание второй ракеты. События А и В – совместные. Сумма событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0.8 + 0.9 - 0.8*0.9 = 0.98

Ответ: вероятность поражения цели 0.98.

3. На склад поступило 3 партии изделий: первая - 2000 штук, вторая - 3000 штук, третья - 1000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 10%, во второй - 5%, в третьей - 15%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

Решение. Всего изделий 2000+3000+1000=6000 штук. Рассмотрим гипотезы: Н₁ – изделие из первой партии, Н₂ – изделие из первой партии, Н₃ – изделие из первой партии. Их вероятности:

Р(Н₁) = 2000/6000=1/3; Р(Н₂) = 3000/6000 = 1/2; Р(Н₃) = 1000/6000 = 1/6

Событие А – наудачу взятое изделие стандартное. Условные вероятности:

Р(А/Н₁) = 0.9; Р(А/Н₂) = 0.95; Р(А/Н₃) = 0.85

Полная вероятность:

Р(А) = Р(Н₁)* Р(А/Н₁) + Р(Н₂)*Р(А/Н₂) + Р(Н₃)*Р(А/Н₃) =

=1/3*0.9 + 1/2*0.95 + 1/6*0.85 = 0.917

Ответ: вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным, равна 0.917.

4. В пирамиде 15 снайперских винтовок, из них 5 СС-В и 10 СВД. Вероятность поражения цели из СС-В – 0.9, из СВД – 0.8. Снайпер поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее, выстрел был произведен из СС-В или из СВД?

Решение. Рассмотрим гипотезы: Н₁ – взята винтовка СС-В, Н₂ – взята винтовка СВД.

Р(Н₁) = 5/15 = 1/3; Р(Н₂) = 10/15 = 2/3

Событие А – цель поражена. Условные вероятности:

Р(А/Н₁) = 0.9; Р(А/Н₂) = 0.8

По формуле Байеса:

Р(Н₁ /А)=Р(Н₁)*Р(А/Н₁)/(Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂)) = 0.36

Р(Н₂ /А)=Р(Н₂)*Р(А/Н₂)/(Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂)) = 0.64

Ответ: вероятность того, что цель была поражена из винтовки СВД, выше, чем из винтовки СС-В.

Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

(нумерация задач выполнена по вариантам с 0 по 9):

0) На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трёх флажков, вывешенных в определённом порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?

1) В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?

2) Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для её заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?

3) Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке 1000 наименований книг?

4) В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причём берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?

5) Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?

6) Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок?

7) На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?

8) Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых?

9) Имеется колода в 36 карт. Сколькими различными способами можно выбрать из неё:

а) три карты;

б) три карты, одна их которых – пиковая дама;

в) три туза;

г) три карты крестовой масти;

д) три красные карты?