3. Формула полной вероятности.

Говорят, что события H₁, H₂, ... , H_n образуют полную группу событий, если они несовместны и при испытании обязательно наступает одно из них. Пусть H₁, H₂, ... , H_n - полная группа событий. События Н_i называют гипотезами и . Пусть в результате испытания произошло событие A. Тогда вероятность события A находится по формуле полной вероятности:

4. Формула Байеса.

Пусть в результате испытания событие А произошло и H₁, H₂, ... , H_n - полная группа событий. При таком условии вероятности гипотез можно подсчитать по формуле Байеса:

Случайные величины. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Величина называется случайной, если в результате испытания она принимает одно заранее неизвестное значение из некоторого числового множества.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает значения из некоторого фиксированного конечного или счетного множества.

Законом распределения дискретной случайной величины (ДСВ) называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения задается аналитически, графически и таблично.

Например, если дискретная случайная величина X принимает значения x₁, x₂, . . ., x_n с вероятностями p₁, p₂,. . ., p_n соответственно, то в результате испытания произойдет одно из единственно возможных и попарно несовместных событий X=x₁, X=x₂, . . ., X=x_n. Такие события образуют полную группу событий и, следовательно, p₁+ p₂+. . .+p_n=1.

Функцией распределения (интегральной функцией) случайной величины X называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x) = P(X < x).

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Свойства интегральной функции распределения.

1. Значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0;1]:

0£ F(x) £1.

2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x₂) ³ F(x₁) , если х₂ > х₁.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то F(x)=0 при х £ а , F(x)=1 при х ³ b.

4. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее промежутку [а,b), равна приращению функции распределения на этом промежутке:

Р(а£х<b) = F(b)- F(a) .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НCВ) называют первую производную f(х) от функции распределения F(x):

Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна:

Если известна функция плотности распределения f(х), то функция распределения F(x) находится по формуле:

Свойства плотности распределения:

1. f(х) является неотрицательной функцией: f(x)³0;

2. .

Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия случайной величины

Математическим ожиданием (ДСВ) X называют сумму произведений всех её возможных значений на их ве­роятности. Для ДСВ X, принимающей значения x₁, x₂, . . ., x_n с вероятностями p₁, p₂,. . ., p_n соответственно, имеем:

Пусть значения HСB X принадлежат отрезку [а, b]. Математическим ожиданием НCВ X называется величина:

.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: X – M(X)

Дисперсией (рассеянием) D(X) ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

Дисперсией D(X) НСВ X называется величина:

Если возможные значения НСВ X принадлежат всей числовой оси, то пределы интегрирования берутся от -¥ до ¥.

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии: