Методические указания и задания к контрольной работе
по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”
В контрольной работе каждый студент решает 11 задач.
По темам 1, 3, 4, 5, 6, 7 студент решает по одной задаче,
по темам № 2 и № 8 – по две задачи в соответствии с номером варианта.
Нумерация задач в темах 17 соответствует номеру варианта - с 0 по 9.
Номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки.
Номер варианта для задач по теме № 8 определяется по двум последним цифрам зачетной книжки.
(Подробную информацию по формированию исходных данных для задач по теме 8 смотри ниже на стр. 15).
Комбинаторика. Размещения. Перестановки. Сочетания
Соединения - различные подмножества множества X={x1, x2,..., xn}, содержащие m элементов, причем 1 m n.
Размещения из m элементов по n - это соединения, содержащие каждое по m элементов из n элементов множества Х, которые отличаются либо самими элементами, либо их порядком.
Число всевозможных размещений из n элементов по m в каждом равно:
,
где n! = 1×2×3
... (n-1)
×
n.
Например, имеется
6 учебных дисциплин, в расписании стоит
4 пары занятий в день. Число вариантов
расписания на день
=6*5*4*3=360.
Перестановки - это соединения, каждое из которых содержит n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. это размещения из n элементов по n.
Число перестановок из n элементов равно Pn = n!.
Сочетания из n элементов множества Х по m - это соединения, которые отличаются по крайней мере одним элементом. Т.е. подмножества из m элементов множества n элементов, порядок которых не играет роли (различия в порядке элементов не меняют подмножества).
Число сочетаний из n элементов по m (n ³ m) в каждом равно:
.
Случайные события. Несовместные события. Сумма событий. Произведение событий
Теория вероятностей занимается изучением закономерностей случайных событий и случайных величин при массовом их проявлении.
Под случайным событием в теории вероятностей понимается событие, которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте. События A1, A2,×××, An называются попарно несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. Суммой A1+A2+×××+An событий A1, A2,××, An называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением A1A2×××An событий A1, A2,×××, An называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.
Вероятность события. Частота события
Количественной мерой возможности появления события является вероятность. Наиболее широкое распространение имеют два определения вероятности события: классическое и статистическое.
Классическое определение вероятности события связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если появление его влечет за собой появление этого события. Пусть в результате некоторых испытаний наблюдаемые исходы попарно несовместны и равновозможные. За вероятность события A принимается отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов:
,
где m — число исходов, благоприятствующих событию А, n — общее число возможных, исходов. Из определения следует, что 0£ Р(А) £ 1.
Статистическое определение вероятности связано с понятием частоты события. Частота события A вычисляется по формуле:
,
где m — число случаев появления события А в серии из n испытаний. Из определения следует, что 0£ Р*(А) £ 1.
С увеличением числа испытаний частота Р*(А) во многих случаях стабилизируется около некоторой постоянной величины.
При статистическом определении вероятности за вероятность события А принимают то число, относительно которого стремится стабилизироваться частота Р*(А) при увеличении числа испытаний.
Основные теоремы теории вероятностей
1. Теорема сложения.
Вероятность суммы двуx несовместных событий:
P(A
+ В) =
P(A)
+ P(B)
Вероятность суммы двуx совместных событий:
P(A
+ В) =
P(A)
+ P(B)
-
P(AB).
Пусть А и
-
противоположные события, тогда:
P(A) + Р( ) = 1.
2. Теорема умножения вероятностей.
Событие В называется независимым от А, если появление события А не изменяет вероятности наступления события В.
Условной вероятностью P(B/A) (или РА(В) )называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло.
По определению:
Вероятность совместного появления двух событий A и B равна:
Р(АВ) = P(A)Р(В/A).
Для независимых событий A1, A2,…, An:
P(A1A2...An) = P(Al)P(A2)...P(An).
Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,×××, An, независимых в совокупности, равна:
P(A)= 1- q1×q2 ...qn,
где q1, q2 ...qn — вероятности появления каждого из событий A1,A2,××,An соответственно.