2. Мережева транспортна задача

Транспортна мережа на рис. 7 також узята з електронного атласу України у вигляді зваженого графа з 10 вузлами і 36 дугами (топологія розглянутого графа збігається з топологією графів двох попередніх задач на транспортних мережах, а саме – задачі про найкоротший шлях і максимальний потік на мережі). Вона задана неорієнтованою мережею, де усі дуги неорієнтовані, наприклад Київ ↔ Коростень. Останні вдвічі збільшують розмір задачі, бо представляються вже не одною, а парою направлених назустріч друг другу дуг (Київ → Коростень, Коростень → Київ).

На транспортній мережі присутні три різновиди вузлів:

• пункти-постачальники вантажу (вони зображені у вигляді квадратів);

• пункти-споживачі цього вантажу (вони зображені у вигляді овалів);

• транзитні пункти (вони зображені у вигляді кіл).

Обсяги поставок (зі знаком + ) і заявок вантажу (зі знаком - ) проставлені поруч із кожним пунктом, а проставлена на кожній дузі дріб являє собою вартість перевезення одиниці вантажу (чисельник дробі) і пропускну здатність цієї дуги (знаменник дробі). Загальний обсяг пропозиції (поставок) у 200 одиниць деякого однорідного вантажу повністю дорівнює сумарному обсягу попиту (споживання), тобто ми маємо закриту транспортну задачу.

Рисунок 7 – Графічне представлення мережевої транспортної задачі

Необхідно знайти вектор Х = (х₁, х₂, … х₃₆), де х_і – об'єм перевезень і-ою дугою, такий, щоб загальні витрати (цільова функція) , де с_і – питомі витрати для і-ої дуги за умови балансу потоків для кожного j-го вузла (j = 1, 2, ... , 10): F_вих(x_i) - F_вх(x_i) = р(x_i), де F_вих(x_i), F_вх(x_i) – сума потоків вантажу на виході та вході кожного j-го вузла з урахуванням пропускних здатностей дуг.

На рис. 8 представлене рішення поставленої транспортної задачі в середовищі додатка Excel, з якого видно, що оптимальний план перевезень складає вектор Х = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 7, 15,13, 7, 19, 0, 0, 0, 15, 20, 0, 0, 0, 0, 15, 0, 0, 0, 16, 4, 0, 0, 0, 0, 0), цільова функція дорівнює 442.

Рисунок 8 – Розв'язання мережевої транспортної задачі

Оптимальні перевезення вантажу на транспортної мережі показані на рис. 9.

Рисунок 9 – Оптимальні потоки у мережевої транспортної задачі