2. Задача про найкоротший шлях на мережі

Класичними задачами на графах є задачі про побудову найкоротших шляхів та їх сукупностей у вигляді відповідних дерев чи контурів. Однією з таких задач є пошук найкоротшого шляху між двома заданими вузлами: s (джерелом) і t(стоком). Розглянемо розв'язання цієї задачі на конкретному прикладі, який узятий з електронної карти (за допомогою www.google.com):

Задана сітка у вигляді змішаного зваженого графа з 10 вузлами і 18 дугами, початкові дані мають наступний вигляд у Excel-таблиці (див. рис. 1).

Треба визначити найкоротший шлях від вузла–джерела міста Києва до вузла-стоку міста Жешува у наступної математичної постановці:

• знайти вектор дуг Х = (х₁, х₂, … х₁₈), де елемент х_i = 1, якщо відповідна дуга належить найкоротшому шляху, і 0 у противному випадку; і – порядковий номер дуги (і = 1, 2, ... , 18);

• щоб загальна довжина шляху , де d_i – довжина і-ої дуги;

• за умови збереження балансу потоків для кожного j-го вузла (j = 1, 2, ... , 10): F_вих(x_i) - F_вх(x_i) = 0, де F_вих(x_i), F_вх(x_i) – сума потоків на вході та виході кожного j-го вузла; для вузла-джерела F_вих(x₁) - F_вх(x₁) = 1; для вузла –стока F_вих(x₁₀) - F_вх(x₁₀) = -1;

• при всіх x_i ≥ 0.

Рисунок 1 – Топологія сітьової транспортної задачі

Для цього в Excel-таблиці (далі просто таблиці) для всіх дуг визначити діапазон для невідомих Х(Дуга) і обчислити значення цільової функції за формулою – СУММПРОИЗВ(Дуга; Довжина), а для всіх вузлів обчислити суми вхідних (Вхід) і вихідних (Вихід) потоків, їх суму (Вихід-Вхід), задати колонку правих частин обмежень (Обмеження).

Для обчислення потоку у вузлах використовується функція обчислення суми величин, координати яких задовольняють визначеній умові (тобто, якщо певні величини належать відповідній множині). В Excel таку процедуру виконує функція СУММЕСЛИ(аргументи). Наприклад, сума вхідних потоків вузла визначається за формулою – СУММЕСЛИ(всі кінці дуг; вузол; потоки), тобто, підсумовуються потоки по тих дугах, кінці яких співпадають з поточним вузлом. За формулою – СУММЕСЛИ(всі початки дуг; вузол; потоки) підсумовуються вихідні потоки.

На рис. 2 показане розв'язання поставленої задачі за допомогою команди Пошук рішення в середовищі Excel-програми, з котрого видно, що вектор Х = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), а це, у свою чергу означає, що найкоротший шлях з міста Києва в місто Жешув пройде послідовно через міста Коростень, Ковель і складе 719 км.

Рисунок 2 – Розв'язання задачі про найкоротший шлях на мережі

На рисунку 3 показано графічне зображення отриманого результату, а саме – найкоротший шлях, який зображений на транспортної мережі у вигляді стрілок.

Рисунок 3 – Графічне зображення розв'язання задачі про найкоротший шлях

на транспортній мережі

3. Задача про максимальний потік у мережі

Задача про максимальний потік на мережі – класична потокова задача, де параметром кожної дуги змішано-орієнтованої мережі є її максимальна пропускна здатність. Ця задача та її варіанти знаходять своє застосування при дослідженні потоків (величин і напрямків) транспортних мереж різного типу (шляхи, трубопроводи, канали зв’язку) для руху пасажирів, транспортних засобів, газу, інформації тощо.

Результат рішення цієї задачі вказує величину максимального загального потоку, який може пропустити вся мережа, потоки та їх напрямки по окремих дугах. Розглянемо розв’язання задачі про максимальний потік у мережі на тому же прикладі, що і для задачі про найкоротший шлях на мережі, тобто вона має 10 транспортних вузлів і 18 транспортних комунікації (початкові дані мають наступний вигляд у Excel таблиці (див. рис. 4), причому пропускна здатність дуг знаходиться як результат від ділення довжини відповідної дуги на 10).

Рисунок 4 – Вихідні дані і структура транспортної мережі

Задана сітка зі змішаною орієнтацією дуг і з відповідними пропускними здатностями дуг. Потік витікає з вузла-джерела міста Київ, потім розтікається по всіх дугах і втікає у вузол-стік місто Жешув. Необхідно знайти такі потоки по дугах, щоб величина потоку з джерела у стік була максимальною. Змішану щодо орієнтації сітку можна перетворити в повністю орієнтовану заміною кожної неорієнтованої дуги парою направлених назустріч дуг. Представимо початкові дані у вигляді двох таблиць (для дуг та вузлів – рис. 5).

Рисунок 5 – Розв'язання задачі про максимальний потік у мережі

Загальний потік у сітці визначається сумою двох потоків:

• з джерела: (Київ, Коростень) + (Київ, Житомир) + (Київ, Біла Церква), тобто F_вих(1) = х₁₂ + х₁₃ + х₁₄;

• у стік: (Ковель, Жешув) + (Львів, Жешув) + (Тернопіль, Жешув), тобто F_вх(10) = х_6,10 + х_9,10 + х_8,10 , які і визначають значення максимального потоку на мережі (значення цільової функції).

Обмеження на потоки по дугах мають наступний вигляд:

• величина потоку ≤ пропускна здатність (х_ij ≤ c_ij);

• потік з джерела = потік у стік, тобто F_вих(1) = – F_вх(10);

• потенціали проміжних вузлів (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) рівні 0, тобто F_вих(х) = F_вх(х).

На рис. 6 представлене графічне представлення результату рішення задачі про максимальний потік у мережі. Напрямок руху потоку показано у вигляді стрілок, а величини потоків на окремих дугах представлені у вигляді знаменника дробі (при цьому чисельник дробі є ні що інше, як величина пропускної здатності відповідної дуги).

Рисунок 6 – Графічне представлення максимального потоку на мережі