6 Суммирование рядов

6.1 Теория и исходные данные

Пусть необходимо вычислить значение функции в точке. Эту задачу можно решить непосредственно подставив требуемое значение в функцию, а можно решить через разложение в ряд. Последний способ используется для приближенных вычислений и находит свое применение в различных программах и устройствах, например, такой способ вычислений используется в инженерных калькуляторах, которые мы используем практически каждый день.

Сумму n первых членов ряда можно найти с помощью реккурентных вычислений, то есть таких вычислений, в которых каждый член последовательности выражается через предыдущий.

В этом задании требуется вычислить сумму ряда, заданную свои вариантом и задав точность вычисления частичной суммы, определить количество членов ряда.

Исходные данные (уравнение (41)) [1]:

(41)

6.2 Суммирование ряда в ms Excel

Поместим исходные данные в ячейки A2:С2. Примем x=0,5. Ячейку D2 отведем под хранение суммы, заданной вариантом, в ячейке Е2 будем выводить количество слагаемых, обеспечивающих точность, заданную в ячейке В2. Ячейку F2 отведем под хранение номера варианта.

Рассчитаем значение всех первых n слагаемых, где n – номер варианта (в нашем случае n=19). Для этого введем номера слагаемых в ячейки А5:А23, а в ячейку B5 поместим формулу (42). В дальнейшем «растянем» ее до ячейки В23.

=(-1)^(A5+1)*2^(2*A5-1)*A$2^(2*A5)/ФАКТР(2*A5) (45)

Для подсчета суммы всех n слагаемых в ячейку С5 введем формулу (43) и «растянем ее до С23.

=1-СУММ(B$5:B5) (43)

Для определения количества слагаемых двумя способами, удовлетворяющих заданной точности, произведем следующую последовательность действий. Так как первый способ основан на сравнении разности между теоретическим значением функции и суммой ряда с объявленной точностью, то в ячейке С2 рассчитаем теоретическое значение. Далее в ячейку D5 введем формулу (44), с помощью которой программа определяет, удовлетворяет ли разность заданной точности. Далее формулу (44) растянем до D23.

=ЕСЛИ(ABS(C5-C$2)<B$2; "да"; "нет") (44)

Второй способ основан на сравнении каждого слагаемого с заданной точностью. Введем в ячейку Е5 формулу (45) с последующим ее «растягиванием».

=ЕСЛИ(ABS(B5)<B$2; "да";"нет") (45)

Недостаток этого способа заключается в том, что с введенной точностью сравнивается текущий член последовательности, тогда как для установления сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы указанной точности удовлетворял последующий член ряда [3]. В связи с этим, количество необходимых членов ряда будет на 1 больше, чем требуется.

Для подсчета количества необходимых членов в ячейку Е2 введем формулу (46). Эта формула использует данные о сходимости, полученные первым способом. Предусмотрен случай, когда количество вычисленных членов ряда будет недостаточно. В таком случае в ячейке Е2 появится надпись «недостаточно членов послед.» и формулы в ячейках А23:F23 необходимо будет «растянуть» вниз до тех пор, пока в ячейке Е2 не появится конечное число.

=ЕСЛИ(СЧЁТЕСЛИМН(D5:D23; "нет")<A23;СЧЁТЕСЛИМН(D5:D23; нет")+

+1;"недостаточно членов послед.") (46)

Результат выполнения программы и размещение данных показано на рисунке 44.

Рисунок 44 – Суммирование рядов в MS Excel