2.5 Квадратичная аппроксимация в MatLab

Вычисление коэффициентов апрроксимирующего полинома осуществляется с помощью функции polyfit. Степень задана равной двум. Значения полинома вычисляются в точках, определяемых вектором х1, с помощью функции polyval. График строится с помощью функции plot. Для отображения исходных точек в виде кружочков задается строковый параметр ‘ro’ [2]. M-файл представлен на рисунке 14, результаты его работы – на рисунках 15 и 16.

Рисунок 14 – M-файл квадратичной аппроксимации в MatLab

Рисунок 15 – График квадратичной аппроксимации в MatLab

Рисунок 16 - Результат квадратичной аппроксимации в MatLab

Значения коэффициентов, полученные в четырех программах, представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Квадратичная аппроксимация

Коэффициент	MS Excel	VBA	MathCad	MatLab
a	-1.357	-1.357	-1.357	-1.3570
b	-0.372	-0.372	-0.372	-0.3720
c	3.6878	3.6878	3.6878	3.6878

Таким образом, как следует из таблицы 4, коэффициенты квадратичной аппроксимации, полученные в четырех программах, полностью совпали.

3 Решение кубического уравнения

3.1 Теория и исходные данные

Кубическое уравнение – это уравнение, общий вид которого выражается формулой (27).

(27)

Численное решение нелинейных уравнений состоит из двух этапов. Первый из них называется отделение корней. Цель этого этапа – найти приближенные значения корней уравнения или выделить отрезки, содержащие только один корень. Самой простой реализацией этого этапа является построение графика. На втором этапе найденные приближенные значения корней уравнения уточняются с помощью какого-либо из численных методов. В курсовой работе рассматривается метод Ньютона.

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если x_n – некоторое приближение к корню x₀ уравнения (28), то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке x_n.

(28)

Уравнение касательной к функции в точке x_n имеет вид (29):

(29)

В уравнении касательной положим y=0 и x=x_n+1.

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона отражает формула (30):

(30)

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Данный метод будет использоваться только при решении задачи в VBA, во всех остальных программах используются встроенные функции.

Исходные данные: a=1, b=1, c=5, d=6, f=433 [1].

3.2 Решение кубического уравнения с помощью ms Excel

Найдем приближенное значение корня нелинейного уравнения. Для этого построим его график, приведя уравнение к общему виду (26).

Поместим в ячейки А2:А18 значения x от 0 до 8 с шагом 0,5. В ячейках В2:В18 вычислим значения у, соответствующие каждому х. Для этого в ячейку В2 введем формулу (31) и растянем ее до ячейки B18 включительно.

=A2^3+A2^2+5*A2+6-433 (31)

По значениям A2:B18 построим график, используя точечную диаграмму. Снимем с графика начальное приближение к корню уравнения и запишем его в ячейку D18, в ячейке E18 рассчитаем значение y, соответствующее приближенному корню. Далее активируем ячейку Е18 и воспользуемся опцией «Подбор параметра», установив требуемое значение y равным нулю. Поиск решения осуществляется автоматическим изменением x.

Результаты решения уравнения представлены на рисунке 17.

Рисунок 17 – Решение кубического уравнения средствами MS Excel