2.2 Квадратичная аппроксимация с помощью электронных таблиц ms Excel

Поместим исходные данные в ячейки А2:В11. В ячейках С2:G2 поместим формулы (14)-(18) и «растянем» до ячеек C11:G11 включительно, чтобы найти , , , , для каждой пары чисел x и y.

=A2^2, (14)

=A2^3, (15)

=A2^4, (16)

=A2*B2, (17)

=B2*C2 (18)

В ячейках А14:16 составим матрицу А коэффициентов перед a, b, c. Для этого поместим в ячейку А14 формулу (19), в ячейки В14, А15 формулу (20), в ячейки С14, В15, А16 формулу (21), в ячейки С15, В16 формулу (22). В ячейку С16 введем число 10, так как количество пар x и y равно 10.

=СУММ(E2:E11), (19)

=СУММ(D2:D11), (20)

=СУММ(C2:C11), (21)

=СУММ(A2:A11) (22)

В ячейках D14:D16 составим столбец свободных членов, поместив туда формулы (23)-(25) соответственно.

=СУММ(G2:G11), (23)

=СУММ(F2:F11), (24)

=СУММ(B2:B11) (25)

В ячейках G14:G16 найдем коэффициенты a, b, c. Для этого выделим указанные ячейки, а в ячейку G14 впишем формулу (26). Завершим вычисление комбинацией клавиш для матричных операций «Ctrl+Shift+Delete».

=МУМНОЖ(МОБР(A14:C16);D14:D16) (26)

Для проверки полученных данных построим график, на котором отметим точки, заданные исходными парами x и y, график y=ax²+bx+c и полиномиальную линию тренда со степенью 2. Также выведем в область построения уравнение аппроксимации, соответствующее линии тренда и степень достоверности R. Полученный график и координаты, по которым строилась аппроксимирующая кривая, представлены на рисунке 10.

Рисунок 9 – Квадратичная аппроксимация в MS Excel

Рисунок 10 – График квадратичной аппроксимации в MS Excel

Как видно из скриншотов 9 и 10, коэффициенты a, b и c, полученные решением системы (12) и посчитанные программой, полностью совпадают.

2.3 Квадратичная аппроксимация с помощью программы MathCad

Решение задачи на квадратичную аппроксимацию в MathCad можно реализовать с помощью кода, представленного на рисунке 10.

Сначала задаются исходные значения x и y в виде векторов-столбцов (для компактной записи используется операция транспонирования). Коэффициенты аппроксимирующего полинома вычисляются с помощью функции regress. Степень полинома задана равной двум. Выделение коэффициентов аппроксимации осуществляется с помощью функции submatrix.

Для получения «гладкого» графика формируется вектор x1, количество элементов которого много больше количества элементов вектора х. Значения аппроксимирующего полинома вычисляются для элементов вектора х1 через функцию interp. На построенном графике аппроксимирующий полином отображен сплошной линией, а исходные точки – кружочками [2].

Рисунок 10 – Квадратичная аппроксимация в MathCad

2.4 Квадратичная аппроксимация в vba

Решение задачи в VBA может быть найдено методом обратной матрицы по формуле (13). Для нахождения обратной матрицы А^-1 в VBA воспользуемся методом Гаусса-Жордана, который заключается в последовательном преобразовании исходной матрицы А к единичному виду с помощью линейных матричных операций и параллельных операций с соразмерной ей единичной матрицей b. В результате преобразований матрица А примет виде единичной матрицы, а матрица b будет обратной к исходной матрице А.

Для удобства вычислений создадим процедуру нахождения обратной матрицы, код которой представлен на рисунке 11.

Рисунок 11 – Процедура нахождения обратной матрицы методом Гаусса-Жордана

Далее для решения задачи запускается форма UserForm, на которой создаются 23 компонента Text, 9 компонентов Label и две командные кнопки для вывода решения и выхода из программы соответственно. Программный код для вычисления превышения представлен на рисунке 12.

Рисунок 12 – Квадратичная аппроксимация в VBA (начало)

Результат работы программы представлен на рисунке 13.

Рисунок 13 – Результат квадратичной аппроксимации в VBA