1 Численное интегрирование

1.1 Теория и исходные данные

1.1.1 Метод квадратур Гаусса

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для определения значения (как правило, приближенного) определенного интеграла. Обычно численные методы используются, когда невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница или когда первообразная функция настолько сложна, что быстрее произвести вычисления численным методом, одним из которых является метод квадратур Гаусса.

В рассматриваемом методе функция на искомом интервале аппроксимируется полиномом, который в зависимости от его параметров пересекает искомую функцию в нескольких точках (например, в двух в случае квадратичной функции) и эти точки можно подобрать таким образом, что погрешности аппроксимации с разными знаками (рисунок 1) будут скомпенсированы наилучшим образом. Далее значение интеграла вычисляется на рассматриваемом интервале как сумма значений функции f(x_i) в данных точках с соответствующими весами. При этом, как правило, высокая точность расчетов достигается уже для аппроксимирующих полиномов невысокой степени (2–6).

Рисунок 1 – Метод квадратур Гаусса

Для расчета значения определенного интеграла методом Гаусса используются формулы (1), (2).

, (1)

. (2)

где a, b – верхний и нижний пределы интегрирования соответственно;

A_i – весовой коэффициент;

t_i – параметр, соответствующий весовому коэффициенту А_i;

x_i – точка, в которой вычисляется значение подынтегральной функции;

n – порядок метода (количество точек)

При выполнении задания примем n=4. Соответствующие заданному порядку весовые коэффициенты и параметры представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Константы, используемые при реализации метода квадратур Гаусса

Ai	ti
0,652145155	-0,339981044
0,347854845	-0,861136312
0,347854845	0,861136312
0,652145155	0,339981044

1.1.2 Метод Монте-Карло

Вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло осуществляется следующим образом. На отрезке, на котором производится интегрирование, строится прямоугольник со сторонами b-a (по оси ОХ) и у_max – наибольшее значение функции в заданном отрезке (по оси ОY). В этот прямоугольник «набрасывается» некоторое количество случайных точек с координатами x и y, таких, что a x b, y у_max (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графическое представление метода Монте-Карло

Зная количество точек, попавших под интегральную кривую, можно приближенно рассчитать значение определенного интеграла по формуле (3). Точность вычислений зависит от количества «набрасываемых» случайных точек.

, (3)

где k – количество точек, попавших под кривую;

n – общее количество случайных точек.

Исходные данные: , [1].

1.2 Вычисление определенного интеграла в ms Excel

Для решения задачи в MS Excel воспользуемся методом квадратур Гаусса. Поместим весовые коэффициенты и параметр t_i в ячейки А2:А5 и В2:В5 соответственно.

Рассмотрим процесс вычисления определенного интеграла I₁. Введем в ячейку С2 формулу (4) для вычисления x_i и «растянем» ее до ячейки С5 включительно.

=(1+3^(0,5))/2+(-1+3^(0,5))/2*B2 (4)

Для вычисления значений подынтегральной функции в точках x_i с учетом веса поместим в ячейку D2 формулу (5) и так же растянем ее на 4 ячейки вниз.

=A2*(1+C2^2)^(-1,5) (5)

Под результат отведем ячейку D6, разместив там формулу (6).

=((3)^(0,5)-1)/2*СУММ(D2:D5) (6)

Для проверки вычислений с помощью формулы (7) введем в ячейке теоретическое значение интеграла I₁.

=(КОРЕНЬ(3)-КОРЕНЬ(2))/2 (7)

Аналогично вычислим значение интеграла I₂. Воспользуемся при этом формулами (8)-(10).

=1/2+1/2*B2, (8)

=A2*E2/(1+E2^4), (9)

=1/2*СУММ(F2:F5), (10)

=ПИ()/8 (11)

Результат вычисления определенных интегралов представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Вычисление определенных интегралов в MS Exel