Деформации вала при кручении

При постоянном крутящем моменте M_k по длине l участка вала угол закручивания φ или угол относительного поворота сечений этого участка определяется законом Гука для кручения:

– в радианах,

– в градусах.

G – модуль сдвига; G·I_ρ – жесткость поперечного сечения вала при кручении.

Если вал ступенчатый и крутящий момент изменяется по длине, то полный угол закручивания вала:

n – число участков.

Если M_k или I_ρ переменны по длине участка l_x, то

Относительный угол закручивания θ – это угол закручивания φ, приходящийся на единицу длины бруса l.

Прочность и жесткость при кручении

Цель расчетов на прочность и жесткость при кручении – определение таких размеров поперечного сечения бруса, при которых напряжения и перемещения не будут превышать заданных величин, допускаемых условиями эксплуатации.

Условие прочности по касательным напряжениям:

M_k^max – максимальный по модулю крутящий момент.

[τ] – допускаемое напряжение при кручении. Оно зависит от τ₀ – напряжения, соответствующего опасному состоянию материала, и от принятого коэффициента запаса прочности n:

Для пластичных материалов τ₀ – предел текучести, для хрупких материалов τ₀ – предел прочности.

Условие прочности по расчетному сопротивлению:

R_s – расчетное сопротивление сдвигу.

Условие жесткости:

Расчет на жесткость должен обеспечить, чтобы относительный угол θ закручивания не превышал допускаемого угла закручивания [θ]:

Если допускаемый угол закручивания [θ⁰] задается в град/м, то

Допускаемый угол закручивания [θ⁰] определяется нормами для различных элементов конструкций.

Пример расчетов задач по теме «кручение валов круглого поперечного сечения»

Задача 5.

Вал круглого поперечного сечения нагружен системой внешних скручивающих моментов.

Требуется:

1) из условия равновесия определить направление и величину незаданного скручивающего момента М_i;

2) построить эпюру крутящего момента М_k;

3) из условия прочности и жесткости подобрать диаметры d и D сплошного и полого участков вала (α = d/D – отношение внутреннего диаметра к наружному);

4) построить эпюру углов закручивания, приняв за неподвижное левое торцевое сечение вала;

5) исследовать напряженное состояние элемента, расположенного на поверхности вала в окрестности точки K.

При выполнении данного пункта необходимо:

а) выделить элементарный параллелепипед и определить касательные напряжения на гранях, совпадающих с поперечными и осевыми сечениями;

б) изобразить плоский элемент, определить положение главных площадок, найти главные нормальные напряжения и показать их на чертеже;

6) изобразить в масштабе вал в соответствии с полученными значениями диаметров.

Из таблицы выписываем данные:

M ₁ - ? M₂ = 1,8 кН·м; M₃ = 0,6 кН·м; M₄ = 0,5 кН·м; M₅ = 2 кН·м;

a = 0,5 м; b = 1 м; c = 0,6 м;

[τ] = 80 МПа = 80 · 10⁶ Па; [φ] = 0,25град/м.

У всех сталь => G = 80 ГПа = 80 • 10⁹ Па. α = d/D = 0,7.

1) Из условия равновесия бруса (сумма внешних моментов сил равна нулю) определим направление и величину незаданного внешнего скручивающего момента М₁.

–M₂ – M₄ + M₅ – M₁ + M₃ = 0;

M₁ = –M₂ – M₄ + M₅ + M₃;

M₁ = –1,8 – 0,5 + 2 + 0,6 = 0,3 кН·м.

M₁ > 0 => направление M₁ совпадает с направлением на чертеже. Если неизвестный скручивающий момент окажется отрицательным, следует перерисовать чертеж, изменив направление неизвестного скручивающего момента.

2) Построим эпюру внутренних крутящих моментов М_k. Крутящие моменты найдем методом сечений (аналогично задаче 1). Для удобства обозначим точки на чертеже: B, C, E, F, H, N.

Рассекаем стержень каждый раз, как только возникают новые моменты. Сечения можно отсчитывать в любом направлении. Будем отсчитывать, начиная с закрепленного (левого) конца. Индексы внутренних крутящих моментов следует ставить такие же, как номера сечений.

а) Участок BC, отбрасываем все, что справа от сечения 1. По третьему закону Ньютона определим величину внутреннего крутящего момента:

M_к1 = – М₂ = – 1,8 кН·м.

б) Участок CЕ, отбрасываем все, что справа от сечения 2.

M_к2 + М₂ + М₄ = 0;

M_к2 = –М₂ – М₄ = – 1,8 – 0,5 = – 2,3 кН·м.

в) Участок ЕF, отбрасываем все, что справа от сечения 3.

M_к3 + М₂ + М₄ – М₅ = 0;

M_к3 = –М₂ – М₄ + М₅ = – 2,3 + 2 = – 0,3 кН·м.

г) Участок FH, никаких новых моментов нет, сечение не отмечаем.

д) Участок HN, отбрасываем все, что справа от сечения 4.

M_к4 + М₂ + М₄ – М₅ + М₁ = 0;

M_к4 = – М₂ – М₄ + М₅ – М₁ = – 0,3 – 0,3 = – 0,6 кН·м.

Всюду внутренние крутящие моменты отрицательны, следовательно, всюду направлены так, что при взгляде с правого торца бруса крутящие моменты вращают брус против часовой стрелки.

Для проверки при определении крутящего момента на участке HN можно рассмотреть правую часть вала, а левую отбросить:

M_к4 = М₃ = – 0,6 кН·м.

Построим эпюру внутренних крутящих моментов М_k.

3) Из условия прочности и жесткости подберем диаметры d и D сплошного и полого участков вала (α = d/D – отношение внутреннего диаметра к наружному).

а ) Сплошной участок вала BF.

W_ρ – полярный момент сопротивления, характеризует сопротивляемость кручению; ρ_max – расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки поперечного сечения; I_ρ – полярный момент инерции.

Д ля круга диаметром D₁:

Запишем условие прочности по касательным напряжениям:

M_k^max – максимальный по модулю крутящий момент.

Из эпюры M_k^max = 2,3 кН·м, по условию задачи [τ] = 80 МПа = 80 · 10⁶ Па,

0,2D₁³ ≥ 0,02875 · 10^-3,

D₁³ ≥ 0,14375 · 10^-3,

D₁ ≥ 0,0527 м ≈ 5,3 см (цифры округляем только в сторону увеличения).

Итак, из условия прочности получили D₁ ≥ 5,3 см.

Запишем условие жесткости по углам закручивания:

φ_рас^max ≤ [φ],

По условию задачи [φ] = 0,25град/м.

Если допускаемый угол закручивания [θ⁰] задается в град/м, то

Отсюда найдем D₁:

D₁ = 9 см.

Сравним D₁ ≈ 5,3 см и D₁ = 9 см.

Выбираем наибольшее: D₁ = 9 см.

а) Полый участок вала FN.

Для кольцевого сечения:

D = 0,0369 м ≈ 4 см – из условия прочности.

D = 0,0687 м ≈ 7 см – из условия жесткости.

Выбираем наибольшее: D = 7 см.

Найдем внутренний диаметр:

d = α · D = 0,7 · 7 = 4,9 см ≈ 4 см !!!

Считаем, что можно вырезать только кратно 1 см.

4) Начнем строить эпюру углов закручивания.

Определим углы закручивания φ для каждого участка по закону Гука:

Идем от закрепленного левого конца бруса.

φ_B = 0, т.к. в этой точке брус закреплен.

Участок BC:

I_ρ = 0,1D₁⁴.

Участок CE:

Участок EF:

Участок FH:

Здесь I_ρ = 0,1D₁⁴(1 – α⁴).

Участок HN:

φ_B = 0;

φ_C = φ_BC = – 0,197⁰;

φ_E = φ_BC + φ_CE = – 0,197 – 0,126 = – 0,323⁰;

φ_F = φ_BC + φ_CE + φ_EF = – 0,323 – 0,02 = – 0,343⁰;

φ_H = φ_F + φ_FH = – 0,343 – 0,071 = – 0,414⁰;

φ_N = φ_H + φ_HN = – 0,414 – 0,142 = – 0,556⁰.

Построим эпюру углов закручивания φ: