Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики определяют с чисто геометрической стороны способность стержня сопротивляться деформации.

а) Площадь поперечного сечения.

Если стержень рассечь плоскостью, перпендикулярной его оси, то получим плоскую фигуру (сечение), имеющую произвольную форму.

Площадь (А) – часть плоскости, ограниченная замкнутым контуром.

П лощадь любого замкнутого контура равна сумме элементарных площадей простейших фигур, на которые разбивается сечение.

Б олее точно:

б) Статические моменты площади.

Статический момент площади сечения (S_z) относительно какой-либо оси Z, лежащей в плоскости сечения – это сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до этой оси.

А – площадь всего сечения,

y – расстояние от элементарной площадки dA до оси Z,

z – расстояние от элементарной площадки dA до оси Y.

Статический момент площади S_z может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Размерность [S_z] = [м³].

Центр тяжести тела – неизменно связанная с этим телом геометрическая точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела, т.е. вес тела в пространстве.

Центр тяжести сечения (С) – это точка, относительно которой сечение находится в равновесии (сечение рассматривается как тонкая пластинка).

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы и размеров, и не зависит от свойств материала, из которого тело выполнено.

Если известны координаты центра тяжести сечения С(y_c, z_c), то по теореме Вариньона:

S_z = A · y_C, S_y = A · z_C.

Если S_z = 0 и S_у = 0, то оси Y и Z проходят через центр тяжести сечения. И наоборот, статические моменты площади плоской фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры, равняется нулю.

Центральные оси – это оси, относительно которых статические моменты площади сечения равны нулю.

Любая ось симметрии является центральной осью, т.к. центр тяжести сечения лежит на этой оси, следовательно, статический момент относительно неё всегда равен нулю.

Если сложное сечение состоит из нескольких простых фигур, для которых известны положения центров тяжести, то статический момент всей фигуры равен сумме статических моментов простых фигур.

Координаты записываем с учетом знака. В случае вырезов знак меняется.

S_у = A₁ · (–z₁) + A₂ · z₂ – A₃ · (–z₃).

Статический момент S_z = 0, т.к. ось Y является центральной.

Координаты центра тяжести сложной фигуры:

в) Моменты инерции сечения.

Осевой момент инерции сечения относительно какой-либо оси – это сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси.

Всегда I_y > 0, I_z > 0.

Размерность [I_y] = [м⁴].

П олярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки (полюса О) – это сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до данной точки.

ρ ² = y² + z², =>

П олярный момент инерции относительно полюса равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через этот полюс. Размерность [I_ρ] = [м⁴].

Ц ентробежный момент инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей – это сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до этих осей.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Если одна из осей x или y является осью симметрии, то центробежный момент инерции I_yz = 0.

Г лавные оси инерции сечения – это оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Главные центральные оси инерции сечения – это главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.