2.4.5 Сложение и вычитание чисел в форме с плавающей точкой

Представим операцию сложения в виде:

.

Пусть , тогда:

,

где .

,

где ; .

Операция сложения и вычитания операндов в форме с плавающей точкой включает следующие этапы:

• выравнивание порядков операндов и определение порядка результата;

• сложение и вычитание мантисс;

• нормализация результата;

• округление результата.

Выравнивание порядков необходимо для того, чтобы цифры мантисс с определенными весами располагались в соответствующих им разрядах регистров. Выполняется такая операция путем сдвига вправо мантиссы того операнда, порядок которого меньше. Алгоритм выравнивания порядков сводится к следующему:

– сформировать разность порядков ;

– если , то сдвинуть на один разряд вправо мантиссу и вычесть единицу из разности порядков ; если , то сдвинуть на один разряд вправо мантиссу и прибавить единицу к разности порядков ;

– пункт 2 алгоритма повторять до тех пор, пока выполняется неравенство ; при выравнивание порядков считают законченным.

Так как порядки операндов могут иметь разные знаки, то для представления их разности может понадобиться -разряд. Абсолютная величина может превышать число разрядов , отводимых для представления мантисс. В этом случае все разряды сдвигаемой вправо мантиссы выходят за пределы разрядной сетки и далее, при сложении и вычитании мантисс, абсолютная величина мантиссы, которая оставалась неподвижной, не меняется. Следовательно, при выполнении условия можно прекратить выравнивание порядков и присвоить окончательному результату значение операнда, мантисса которого не сдвигалась.

Определять порядок результата удобно вместе с выравниванием порядков операндов. Порядок результата равен порядку большего по абсолютной величине операнда (то есть, того, мантисса которого не сдвигалась при выравнивании порядков).

Сложение и вычитание мантисс, для представления которых обычно используется прямой код, выполняется по тем же алгоритмам, что и чисел в форме с фиксированной точкой. Однако переполнение разрядной сетки здесь не приводит к остановке вычислений, что, как правило, имеет место при выполнении операций над числами в форме с фиксированной точкой. Наличие переполнения учитывается далее при нормализации результата.

Поскольку при выравнивании порядков возможна потеря части разрядов мантиссы одного из операндов, то мантисса результата может быть получена с погрешностью, по абсолютной величине почти равной единице младшего разряда. Однако среднее значение погрешности при этом равно нулю, если считать, что знаки «+» и «–» операндов и заданных операций появляются с равными вероятностями. С целью уменьшения максимальной абсолютной величины этой погрешности может быть введена операция округления мантиссы результата.

Необходимость нормализации результата обусловлена тем, что при мантиссах операндов, удовлетворяющих условиям нормализации, в зависимости от знака операции, мантисса результата может находиться в пределах .

Таким образом, при сложении и вычитании мантисс может произойти нарушение нормализации мантиссы результата на один разряд влево или на произвольное число разрядов вправо. Нормализация результата выполняется следующим образом. Если (нормализация нарушена влево), то сдвинуть мантиссу результата на один разряд вправо и прибавить единицу к порядку результата. При этом может возникнуть переполнение порядков. При сложении мантисс, близких по модулю друг к другу, но имеющих разные знаки может возникнуть нарушение нормализации вправо на любое число разрядов (вплоть до получения нулевой мантиссы).

Если , то сдвинуть мантиссу влево и вычесть единицу из порядка результата. Эти действия продолжать до тех пор, пока сохраняются условия указанного выше неравенства (если мантисса результата представлена прямым кодом, то до тех пор, пока в старшем разряде мантиссы в результате сдвига появится единица). В этом случае может возникнуть антипереполнение.

Если , то результату присваивается машинный нуль (потеря значимости), а выполнять нормализацию нет необходимости.

При использовании модифицированного дополнительного кода для вычитания левое нарушение нормализации обнаруживается так же, как и в предыдущем случае, а правое – по комбинациям 00,0... и 11,11... .