2.4 Выполнение арифметических операций в микропроцессорных системах над числами с плавающей точкой

2.4.1 Особенности представления числовых данных с плавающей точкой

Каждой форме представления чисел (с фиксированной или плавающей точкой) свойственны свои преимущества и недостатки. Поэтому в современных микропроцессорных системах обычно имеется возможность использования любой из них. Микропроцессорные средства, в которых используется преимущественно представление чисел в форме с фиксированной точкой, представляют собой специализированные микропроцессорные системы для управления технологическими процессами, обработки статистической информации и результатов измерений, решения задач с большим числом логических операций и т.д. Представление же чисел в форме с плавающей точкой используется в микропроцессорных системах, которые служат для решения широкого круга задач научного и технического характера. Это обусловлено тем, что использование формы с плавающей точкой позволяет значительно расширить диапазон представимых чисел, по сравнению с фиксированной точкой, обеспечивая при этом высокую точность представления.

,

где – мантисса, – порядок.

При представлении чисел в форме с плавающей точкой мантисса может быть любым знаковым числом: целым, правильной дробью, смешанным. Однако условие нормализации предполагает представление мантиссы в виде правильной дроби:

,

где – мантисса.

Знак мантиссы определяет знак всего числа.

Порядок определяет фактическое положение запятой, которое она занимает в изображении мантиссы, и может быть положительным или отрицательным, но обязательно целым числом. Понятие «ПТ» можно рассматривать как перемещение точки в изображении числа влево, если , или вправо, если . Для обозначения чисел с плавающей точкой используют форму вида:

.

где – мантисса числа; – разделитель мантиссы и порядка; – порядок числа.

Вместо могут использоваться другие символы, например, (double – двойная точность), когда для мантиссы отводится большее количество разрядов. Если для записи порядка используется разрядов, а для записи мантиссы разрядов, то в форме с плавающей точкой может быть представлено следующее максимальное (по абсолютной величине) число:

.

В свою очередь, минимальное по абсолютной величине, но не равное нулю, число в форме с плавающей точкой может быть представлено в виде:

.

При получении последней оценки полагаем, что минимальное значение мантиссы равно из-за условия нормализации. Подобные рассуждения применимы и для определения максимального и минимального отрицательных чисел, поскольку они представляются в микропроцессорных системах. В микропроцессорных системах, где используется представление чисел в форме с плавающей точкой, арифметические операции выполняются как над мантиссами операндов, так и над их порядками. При этом часто необходимо выполнять операцию нормализации чисел. Поэтому процессоры с плавающей точкой являются более сложными и менее быстродействующими, чем процессоры с фиксированной точкой (естественно, при сравнимом быстродействии электронных компонентов этих процессоров). Вместе с тем, в микропроцессорных системах с фиксированной точкой возникают определенные трудности из-за необходимости масштабирования данных. В этом легко убедиться, сравнивания отношения для различных форм представления числовых данных:

.

Для чисел с плавающей точкой:

Из рассмотренного следует, что диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой зависит от разрядности порядка. Увеличение разрядности порядка на (1) значительно расширяет диапазон (табл. 2.20).

Таблица 2.20 – Зависимость диапазона представимых чисел от разрядности порядка

P
6
7
8

Хотя диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой во много раз шире диапазона представления чисел с фиксированной точкой, тем не менее в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда результат вычислений выходит за пределы диапазона.