Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0:

sin φ = .

Условие параллельности прямой и плоскости: Аm + Вn + Сp = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой . Подставив х, у и z в уравнение плоскости А(х₀ + m t) + В(y ₀ + n t) + С(z ₀ + p t) + D = 0, находим значение t = t_р . Координаты точки пересечения: _. .

Условие, при котором прямая лежит в плоскости:

.

Если Аm + Вn + Сp ≠ 0, то прямая пересекает плоскость;

если Аm + Вn + Сp = 0 и Ах₀ + Вy ₀+ Сz ₀ + D ≠ 0 – прямая параллельна плоскости.

Задания для самостоятельного решения

Задания для самостоятельного решения

Задания для самостоятельного решения

Задания для самостоятельного решения

2. Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)

называются кривыми второго порядка. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Окружность – множество всех точек плоскости,

удаленных от заданной точки А плоскости – центра окруж-

ности – на одно и то же расстояние R – радиус окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окруж-

ности (каноническое уравнение окружности):

(x – a)² + (y – b)² = R²,

где (a, b) – координаты ее центра.

В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид:

x² + y² = R².

Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если

А = С ≠ 0 и В = 0.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х² + у² – 4х + 8у – 16 = 0; а) 9х² + 9у² + 42х – 54у – 95 = 0.

а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:

х² + у² – 4х + 8у – 16 = х²– 4х + 4 – 4 + у² + 8у + 16 – 16 – 16 = (х – 2)² + (у + 4)² = 6².

Центр окружности находится в точке О(2; -4), а радиус равен 6.

б) Разделив обе части уравнения на 9, найдем х² + у² + х – 6у – = 0. Выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения: х² + х + + у² – 6у + 9 – – 9 – = (х + )² + (у – 3)² = 5².

Центр окружности находится в точке О(- ; 3), а радиус R = 5.

Задания для самостоятельного решения

Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х² + у² – 4х + 6у – 3 = 0; б) 3х² + 3у² + 6х – 4у – 2 = 0.

Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х² + у² – 6х + 4у – 12 = 0, проведенных из

точки М(0; 3).

Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx +3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у :

х² + у² – 6х + 4у – 12 => (х – 3)² + (у + 2)² = 25.

Для нахождения общих точек прямой и окружности надо решить систему уравнений

.

Имеем: (х – 3)² + (kx +3 + 2)² = 25, т.е. х²– 6х + 9 + k²x² + 10kx + 25 = 25, поэтому

(k² + 1) x² + (10k – 6) x + 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т.е. (5k – 3)² – 9(k² + 1) = 0, откуда k₁ = 0, k₂ = .

Значит, у = 3 и у = х + 3 – искомые уравнения.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (-4; 2).

2. Найти уравнения касательных к окружности (х – 4)² + (у – 2)² = 4, проведенных из начала координат.

3. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3х + 4у – 12 = 0,

4х – 3у + 12 = 0, у = 0.

Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1; 3), (0; 2), (1; -1).

Уравнение окружности ищем в виде (х – a)² + (у – b)² = R². Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и R: . Из первых двух уравнений получаем (-1 – a)² + (3 – b)² = a² + (2 – b)², т.е. 1 + 2a + a² + 9 – 6b + b² = a² + 4 – 4b + b² , поэтому a – b = –3; из второго и третьего уравнений системы получаем a² + (2 – b)² = (1 – a)² + (-1 – b)², отсюда a – 3b = –1. Решая систему уравнений , находим a = –4, b = –1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = R², т.е. R² = 25.

Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)² + (у + 1)² = 25.

Задания для самостоятельного решения

1. Написать уравнение окружности, если:

а) центр находится в точке С(-2; 0), а радиус R = 2;

б) центр лежит в точке С(-4; 5) и окружность проходит через точку М(-1; 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0).

3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 5) , В(5; -1), если ее центр лежит на прямой х – у – 2 = 0.

Эллипс

Эллипс – множество точек плоскости, сумма

расстояний от каждой из которых до двух данных

точек – фокусов эллипса – величина постоянная,

большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

+ = 1, (2)

а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.

Координаты фокусов: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с² = а ² – b² .

Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение ε = (ε < 1, т.к. с < а ).

Фокальные радиусы: r₁= а + εх, r₂= а – εх (r₁ + r₂ = 2а).

Директрисами эллипса называются прямые l₁ и l₂ параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; уравнения директрис: х = - , х = .

Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x² + y² = а².

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид,

изображенный на рисунке. В этом случае:

b > a, с² = b ² – a², ε = , уравнения директрис у = .

Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным:

+ = 1,

г де (х₀; у₀) – координаты центра эллипса.

Параметрические уравнения эллипса: , t [0; 2π].

t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей центр

эллипса с его точкой М.

Пример 4. Показать, что уравнение 4х² + 3у² – 8х + 12у – 32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):

4х² + 3у² – 8х + 12у – 32 = 4(х²– 2х + 1 – 1) + 3( у² + 4у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)² + 3(у + 2)² = 48,

т.е. + = 1. Получили каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого имеет координаты (1; -2). Из уравнения находим: а² = 12, а = 2 и b² = 16, b = 4 (b > a). Поэтому

с = = = 2. Эксцентриситет эллипса ε = = .

Пример 5. Дано уравнение эллипса 24х² + 49у² = 1176. Найти

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет эллипса;

4. уравнения директрис и расстояние между ними;

5. точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F₁ равно 12.

Разделив правую и левую части уравнения на 1176, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1.

1) Отсюда а² = 49, b² = 24, т.е. а = 7, b = 2 .

2) с = = = 5. Следовательно, F₁ (-5; 0) и F₂ (5; 0).

3) a > b = > ε = = .

4) Уравнения директрис имеют вид: х = ± = ± = ± .

Расстояние между ними d = – = = 19,6.

5) По формуле r₁ = a + ε x находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F₁ равно 12:

12 = 7 + х, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:

24 · 49 + 49у² = 1176, 49у² = 0, у = 0. Условию задачи удовлетворяет точка А(7; 0).

Задания для самостоятельного решения

1. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса

16 х² + 25у² – 400 = 0.

2. Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F₁ (-6; 0), F₂ (10; 0).

2) a = 5, F₁ (-3; 5), F₂ (3; 5).

Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А(2; - 4 ) и В(-1; 2 ).

Уравнение эллипса ищем в виде + = 1. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим два уравнения для определения a и b: + = 1 и + = 1. Умножая второе уравнение на (-4) и складывая с первым, находим – = –3, т.е. b² = 64. Подставляя полученное значения b² в первое уравнение, получаем + = 1, откуда а² = 16.

Т.о., искомое уравнение эллипса есть + = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох,

симметрично относительно начала координат, если:

а) задана точка М(2 ; 1) эллипса и его малая полуось равна 2;

б) заданы две точки эллипса М₁(0; 7) и М₂(8; 0);

в) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26;

г) эксцентриситет равен ε = и заданы фокусы (±7; 0).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично

относительно начала координат, если:

а) М₁(2 ; 0,4 ) и М₂(- ; ) – точки эллипса;

б) точка М (3; -2 ) принадлежит эллипсу, ε = ;

в) 2а = 20, ε = ;

г) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5.

Пример 7. Найти уравнение касательной к эллипсу + = 1 перпендикулярно прямой х – у + 50 = 0.

Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с.

Угловой коэффициент k найдем из условия k · k₁ = -1 перпендикулярности прямых, где k₁ – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k₁ = 1 (у = х + 50), то k = -1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = –х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений .

Получаем + = 1, т.е. 5х² – 8сх + 4с² – 20 = 0. Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т.е. 64с² – 4 · 5(4с² – 20) = 0 или 4с² – 5(с² – 5) = 0. Значит, есть два решения:

с₁ = 5 и с₂ = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: у = –х + 5 и у = –х – 5.

Задания для самостоятельного решения

1. При каких значениях α прямая у = х – α пересекает эллипс х² + 2у² – 4 = 0? Касается его ?

2. Эллипс касается оси Оу в точке А (0; 2) и пересекает ось Ох в точках В (4; 0) и С (10; 0).

Составить уравнение эллипса, если оси его параллельны осям координат.

Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая ось равна 2 .

Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси.

Уравнение эллипса имеет вид + = 1, b > a. По условию задачи 2а = 2 , т.е. а = , и с = .

Т.к. с² = b² – a², то получаем: = b² – 3, т.е. b² = 4. Т.о., уравнение эллипса есть + = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично

относительно начала координат, если:

а) его полуоси равны 5 и 8;

б) 2с = 24, ε = .

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плос-

кости, модуль разности расстояний от каждой из ко-

торых до двух заданных точек – фокусов, есть вели-

чина постоянная, меньшая, чем расстояние между

фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

– = 1, (3)

а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

Координаты фокусов: F₁(-c; 0), F₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с² = а ² + b² .

Точки A и B – вершины гиперболы, точка О – центр гиперболы, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситет гиперболы: ε = (ε > 1, т.к. с > а ).

Фокальные радиусы:

для правой ветви гиперболы: r₁= а + εх, r₂= -а + εх (|r₁ – r₂| = 2а),

для левой ветви гиперболы: r₁= -а – εх, r₂= а – εх (|r₁ – r₂| = 2а),

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны соответственно 2а и 2b и параллельны осям гиперболы, называется прямоугольником гиперболы. Диагонали прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы. Они определяются уравнениями: у = х.

Директрисами гиперболы называются прямые l₁ и l₂ параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; их уравнения: х = - , х = .

Если а = b, то гипербола (3) называется равносторонней:

x² – y² = а².

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы

и меет вид: – = -1. (4)

В этом случае: b > a, ε = , уравнения директрис у = .

Г ипербола (4) называется сопряженной гиперболе (3).

Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным:

– = 1,

где (х₀; у₀) – координаты центра гиперболы.

Пример 9. Дано уравнение гиперболы 5х² – 4у² = 20. Найти

6. длины его полуосей;

7. координаты фокусов;

8. эксцентриситет гиперболы;

9. уравнения асимптот и директрис;

10. фокальные радиусы точки М(3; 2; 5).

Разделив правую и левую части уравнения на 20, получим каноническое уравнение гиперболы: – = 1.

Отсюда

1) а² = 4, b² = 5, т.е. а = 2, b = .

2) с = = = 3. Следовательно, F₁ (-3; 0) и F₂ (3; 0).

3) ε = = .

4) Уравнения асимптот и директрис имеют вид: у = ± х и х = ± = ± = ± .

5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0 ), следовательно,

r₁ = 2 + · 3 = 6,5, r₂ = –2 + · 3 = 2,5.

Пример 10. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между равно 10, а

длина действительной оси равна 8.

Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2с = 10, т.е с = 5; 2b = 8, b = 4.

Т.к. с² = a² + b ², то получаем: 25 = a² + 16, т.е. a² = 9, a = 3. Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

а) 2с = 10, а = 3;

б) с = 3, ε = 1,5;

с) b = 6, уравнения асимптот у = ± х.

2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

а) с = 10 и уравнения асимптот у = ± х;

б) ε = 1,5 и расстояние между директрисами равно 8/3;

в) ε = 2 и точка М ( ; ) лежит на гиперболе.

Пример 11. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках , F₁ (-2; 4) и F₂ (12; 4), а

длина мнимой оси равна 6.

Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение гиперболы имеет вид

– = 1. По условию задачи 2b = 6, т.е b = 3. 2b = 8, b = 4. Расстояние между фокусами равно 14, т.е. 2с = 14, с = 7. Т.к. с² = a² + b ², то: 49 = a² + 9, т.е. a² = 40, a = 2 . Центр гиперболы делит расстояние между фокусами пополам. Поэтому х₀ = = 5, у₀ = = 4. Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки

А(6; -1) и В(-8; -2 ).

2. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М(4; - ). Найти расстояние

от точки М до правого фокуса.

Пример 12. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

Уравнения асимптот гиперболы: у = ± х . Найдем отношение : ε = 2, ε = = = . Отсюда = ε² – 1, т.е. = . Имеем: = = . Т.о., уравнения асимптот гиперболы есть у = ± х . Угол φ между асимптотами найдем по формуле tg φ = = = , φ = .

Задание для самостоятельного решения

Составить уравнения асимптот гиперболы – = 1, построить ее.

Пример 13. Дан эллипс 5 х² + 8у² = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины

которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, записав его уравнение

в канонической форме + = 1. Имеем а² = 8, а = 2 ; b² = 5, а = .

Из соотношения с² = a² – b ² находим с: с² = 8 – 5, с = . Можно записать:

А (2 ; 0), В (–2 ; 0), F₁ (– ; 0) и F₂ ( ; 0). Обозначим через а_g, b_g, c_g – соответственно полуоси гиперболы и половину расстояния между ее фокусами. Тогда, согласно условиям задачи, можно записать:

а_g = OF₂, т.е. а_g = и c_g = ОА, т.е. c_g = 2 . Из соотношения = + находим 8 = 3 + , поэтому = 5, b_g = . Подставляя найденные значения этому шения м задачрболы и половину расстояния между ее фокусами. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 а_g и b_g в уравнение гиперболы, находим

– = 1 – искомое уравнение гиперболы.

Задание для самостоятельного решения

Дана гипербола – = 1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М (4; – ).

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости,

к аждая из которых равноудалена от заданной точки –

ф окуса, и заданной прямой – директрисы.

Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх, (5)

где р > 0 – параметр параболы – число, равное расстоянию

от фокуса F до директрисы l.

Координаты фокуса: F(0; ). Точка О(0; 0) – вершина параболы; длина

r отрезка FM – фокальный радиус точки М; ось Ох – ось симметрии параболы.

Уравнения директрисы l параболы: х = - . Фокальный радиус r = х + .

Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходя-

ч ерез начало координат, имеет уравнение: х² = 2ру. Ее фокусом

я вляется точка F(0; ). Уравнения директрисы у = - . Фокаль-

н ый радиус r = у + .

Эскизы графиков других парабол:

у² = -2рх x² = -2рy (у – y₀)² = 2р(x – x₀) (у – y₀)² = -2р(x – x₀) (x – x₀)² = 2р(y – y₀) (x–x₀)² =-2р(y–y₀)

Пример 14. Дана парабола х² = 4у. Найти координаты ее фокуса, уравнение директрисы, длину фокального

радиуса точки М (4; 4).

Парабола задана каноническим уравнением. Следовательно, 2р = 4, р = 2. Используя вышеприведенные формулы, находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F(0; 1); уравнение директрисы имеет вид

у = –1; фокальный радиус точки М (4; 4) равен r = 4 + 1 = 5.

Пример 15. Найти вершину, фокус и директрису параболы у = –2х² + 8х – 5, построить эскиз графика.

Приведем уравнение параболы к каноническому виду, выделив в правой части полный квадрат:

у = –2(х² – 4х + ) = –2(х² – 4х + 4 – 4 + ) = –2((х – 2)² – ) = –2(х – 2)² + 3, т.е. у = –2(х – 2)² + 3 или

( х – 2² = – (у – 3).

Уравнение параболы имеет вид, как на рисунке. Вершина параболы имеет

координаты (2; 3); 2р = , р = . Прямая х = 2 является осью симметрии

параболы. Координаты фокуса х = 2, у = 3 – = , т.е. F(2; ). Уравнение

директрисы у = 3 + = 3 + , т.е. у = .

Задания для самостоятельного решения

1. Парабола симметрична относительно оси Ох, ее вершина находится в начале координат.

Составить уравнение параболы, зная, что она проходит через точку А(-3; -3).

2. Найти высоту арки моста длиной 24м, имеющей форму параболы, уравнение которой

х² = - 48у.

Пример 16. Найти уравнение касательной к параболе у² = 4х, проведенной из точки А(-2; -1).

Уравнение прямой ищем в виде y = kx + b. Т.к. точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение касательной, получим: -1 = -2k + b. Далее, эта прямая и парабола имеют единственную точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставим в левую часть полученного равенства вместо у² его выражение из второго уравнения. Получим k² x² + 2kbх + b² = 4x. Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Т.о., = (kb – 2)² – k² b² = 0 или 4kb = 4, b = . Искомые значения параметров k и b находятся как решения системы , из которой получаем –2k² + k + 1 = 0 и

k₁ = 1, k₂ = – . Система имеет два решения: и . Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи: y = x + 1 и y = – x – 2.

Задания для самостоятельного решения

1. К параболе у² = 4х проведена касательная параллельно прямой 2х – у + 7 = 0. Найти уравнение этой касательной.

2. При каких значениях k прямая у = kх – 1 пересекает параболу у² = –5х? Касается ее?