Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 1, 1, 1 ) перпендикулярно линии пересечения двух плоскостей x – y + 2z – 3 = 0 и 2x – z + 4 = 0.

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей

x – 2y + 3z – 4 = 0 и x + у – 5z + 9 = 0 и параллельной оси Ох.

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Под углом между плоскостями понимается угол между нормальными векторами этих плоскостей.

Если плоскости Q₁ и Q₂ заданы уравнениями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, нормальные вектора которых = {A₁; B₁; С₁} и

= {A₂; B₂; С₂}, то:

cos φ = .

Наименьший из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, равен

cos φ = .

Условие параллельности плоскостей Q₁ и Q₂: .

Условие перпендикулярности плоскостей Q₁ и Q₂: A₁ А₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Плоскости совпадают, когда: .

Расстояние от данной точки до данной прямой

Расстояние d от точки М₀ (x₀; у₀; z₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0:

d = .

Расстояние d от точки М₀ до плоскости x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0:

d = | х₀ cos α + у₀ cosβ + z₀ cosγ – p |.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, -3, -2 ) параллельно плоскости 3x – 2y + 4z – 3 = 0.

Ищем уравнение плоскости в виде Аx + Вy + Сz + D = 0. Две параллельные плоскости имеют общую нормаль. Координаты нормали заданной плоскости n = { 3; -2; 4 }. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид 3x – 2y + 4z + D = 0. Точка М (1, -3, -2 ) по условию лежит в искомой плоскости. Следовательно, подстановкой координат М в уравнение плоскости получим тождество:

3  1 – 2  (-3) + 4  (-2) + D = 0  D = -1  уравнение искомой плоскости имеет вид 3x – 2y + 4z – 1 = 0.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-4, -3, -2 ) параллельно плоскости x + 2y – 3z – 6 = 0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (0, -3, 2 ) параллельно плоскости, проходящей через три точки М₁ ( 0, -2, -1 ), М₂ ( 1, -3, 4 ), М₃ ( 1, 1, -1 ).

Пример 2. Найти величину острого угла между плоскостями:

а) 11х – 8у – 7z – 15 = 0 и 4х – 10у + z – 2 = 0; б) 2х + 3у – 4z + 4 = 0 и 5х – 2у + z – 3 = 0.

а) cos φ = = = = => φ = .

б) выполняется условие перпендикулярности плоскостей A₁ А₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0, т.к.

2 · 5 + 3 · (-2) – 4 · 1 = 0. Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны => φ = .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти величину острого угла между плоскостями: а) х + у – 2z + 5 = 0 и 2х + 3у + z – 2 = 0; б) 2х – 2у + z = 0 и z = 0.

Пример 3. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости х – 2у + 2z + 5 = 0 и удаленной

от точки М ( 3, 4, -2 ) на расстояние d = 5.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

а) х + у – z – 2 = 0 и 2х + 2у – 2z + 5 = 0; б) 2х – 3у + 6z – 14 = 0 и 2х – 3у + 6z + 42 = 0.

2. Найти расстояние от точки М₀ ( 5, 4, -1 ) до плоскости, проходящей через точки

М₁ ( 0, 4, 0 ), М₂ ( 0, 4, -3 ), М₃ ( 3, 0, 3 ).

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁ ( -1, 3, 0 ) и М ₂ ( 2, 4, -1 ),

перпендикулярно плоскости х – 2у + 3z – 10 = 0.

Задания для самостоятельного решения

Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку М ( 2, 1, -1 ), перпендикулярно плоскости 2х – 3z = 0.