2. Плоскость в пространстве Различные виды уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным уравнением

первой степени с тремя неизвестными.

1. У равнение плоскости, проходящей через точку

М₀ (x₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = {A; B; С}:

А(х - x₀) + В(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

2. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую,

образованную пересечением плоскостей

А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 имеет вид:

А ₁х + В₁у + С₁z + D₁ + λ (А₂х + В₂у + С₂z + D₂) = 0,

г де λ – числовой множитель.

3. О бщее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Вектор = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости

( перпендикулярен плоскости).

Частные случая уравнения:

Ах + Ву + Cz = 0 (D = 0) – плоскость проходит через начало координат;

Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0 и Ву + Cz + D = 0);

Ах + Ву = 0 (D = C = 0) – плоскость проходит через ось Оz (Ах + Cz = 0,

Ву + Cz = 0 – через ось Оу и Ох соответственно);

Ах + D = 0 (В = С = 0) – плоскость параллельна плоскости Оуz (Cz + D = 0,

Ву + D = 0 – параллельна плоскости Оxу и Оxz соответственно);

Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0) – плоскость совпадает с плоскостью Оуz

(y = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Оxz и Оxy соответственно);

3. У равнение плоскости в отрезках: = 1.

а, b, с – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых

п лоскостью на осях Ох, Оу и Oz соответственно.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

М₁(x₁; у₁; z₁), М₂(x₂; у₂; z₂), М₃(x₃; у₃; z₃) : = 0.

3. Нормальное уравнение плоскости: x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат

на плоскость, α, β, γ – углы, образованные этим перпендикуляром

с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно

(cos²α + cos²β + cos²γ = 1)

Общее уравнение плоскости можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).

Пример 1. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) 2 у – 5 = 0; 2) x + z – 1 = 0;

3) 3x + 4y + 6z – 12 = 0.

1). Плоскость 2 у – 5 = 0 параллельна плоскости Oxz ; она отсекает на оси Оу отрезок, равный 2,5 и имеет вид, представленный на рис. 1.

2). Плоскость x + z – 1 = 0 параллельна оси Oу; она пересекает плоскость Оxz по прямой x + z = 1, отсекая на осях Оx и Оz отрезки, равные 1 ( рис.) .

Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки, равные 4, 3, 2

соответственно ( рис. 3) .

Рис.1. Рис.2. Рис.3.

Задание для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точку М ( -2, 3, 1 ) параллельно плоскости Оху; б) точку М и ось Оу. Построить эти

плоскости.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точку A ( 5, - 4, 6 ) перпендикулярно оси Ох;

б) точку А и отсекающей равные отрезки на координатных осях. Построить эти плоскости.

Пример 2. Уравнение плоскости 2х – 6у + 3z – 14 = 0 привести к нормальному виду.

Задание для самостоятельного решения

1. Определить направляющие косинусы радиус – вектора, перпендикулярного к плоскости

3х – 4у + 5z – 10 = 0.

Пример 3. Написать уравнение плоскости:

а) параллельной оси Oz и проходящей через точки М₁ ( 3, –1, 2 ) и М₂ (–1, 2, 5 );

Подставляя найденные значения А и В в уравнение

Ах + Ву + D = 0, получаем Dx Dy + D = 0. После сокращения на D получим 3х + 4у – 5 = 0.

Задания для самостоятельного решения

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ ( 2, 0, -1 ), М₂ ( -3, 1, 3 ), параллельно вектору s = { 1; 2; -1}.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 1, -1, 0 ), параллельно векторам а = { 0; 2; 3} и b = { -1; 4; 2}.

Пример 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁ ( 1, 0, -1 ),

М₂ ( 2, 2, 3 ), М₃ ( 0, -3, 1 ).

Задание для самостоятельного решения

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ ( - 2, 0, 0 ), М₂ ( 0, 4, 0 ),

М₃ ( 0, 0, 5 ).

решение,

Далее, воспользовавшись способом, приведенным в