6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М₁(x₁; у₁) и М₂(x₂; у₂) :

Если x₁= x₂, то уравнение будет иметь вид: x = x₁; если у₁= у₂, то у = у₁.

6. Нормальное уравнение прямой:

x cosα + y sinα – p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала

координат на прямую, α – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой).

6. У равнение прямой в полярных координатах:

r cos (φ – α) = p.

Пример 1. Построить прямую, заданную уравнением 2х – у – 4 = 0.

1. Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее

произвольных точек Полагаем, например, в уравнениии прямой х = 0,

получим у = - 4  имеем одну точку А (0, - 4). Полагая х = 1,

получим у = - 2  вторая точка В (1, - 2). Построим точки А и В

и проведем через них прямую ( рис.) .

2. Задачу можно решить с помощью уравнения прямой в отрезках.

Приведем уравнение к виду (3). Для этого перенесем свободный член ( -4)

в правую часть уравнения и разделим обе его части на 4.

Получаем 2х – у = 4, – = 1, т.е. + = 1 – уравнение прямой в отрезках. На оси Ох от начала

координат отложим 2 единицы вправо; на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, через которую проводим прямую ( рис.).

Задания для самостоятельного решения

1. Записать уравнение прямой у = 2х – 3 в отрезках и построить ее.

2. Определить, при каком значении  прямая ( ² –  ) х + ( 2 +  ) у – 3  + 1 = 0

а) параллельна оси Ох; б) проходит через начало координат.

3. Найти k из условия, что прямая у = k х + 2 удалена от начала координат на расстоянии .

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А ( -2, ²/₅ ) и образующей с осью Ох угол, равный arctg3 .

Пример 2. Уравнение прямой 4х – 3у + 12 = 0 представить в различных видах ( с угловым коэффициентом, в отрезнах, в виде нормального уравнения ).

Для получения ур-ния прямой с угловым коэффициентом разрешим заданное уравнение относительно у. Получим: у = ⁴/₃ х + 4, здесь k = ⁴/₃ , b = 4.

Для получения ур-ния прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части ур-ния на -12:  ^х/-₃ + ^у/₄ = 1 ( а = –3, b = 4 ).

Задания для самостоятельного решения

1. З аписать данное уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальном виде и определить, на каком расстоянии от начала координат оно находится: а) 2х – 3у + 6 = 0, б) х + 2,5 = 0, в) у = х – 1, г) х + 5у = 0.

Пример 3. Написать уравнение прямой , проходящей через точки

а) А ( 0, 2 ) , В ( -3, 7 ) ; б) А ( 2, 1 ) , В ( 4, 1 ) .

Задания для самостоятельного решения

1. Прямая проходит через точки А ( 2, 3 ) и В ( -2, -1 ), пересекает ось Оу в точке С.

Найти координаты точки С.

2. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А ( -2, -2 ) и В ( -1, 6 ), и имеющая ординату, равную 22 ?

Пример 4. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = k ( x – 2), выделить ту, которая проходит через точку А ( -2, 5 ) .

Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5 + 3 = k (– 2 – 2), получим 8 = – 4 k 

k = – 2. Следовательно, искомое уравнение прямой есть у + 3 = – 2 ( x – 2) или 2х + у – 1 = 0.

Задание для самостоятельного решения

Найти прямую, принадлежащую пучку –4х + 2у + 1 +  ( х – 3у + 2 ) = 0 и проходящую через точку А ( 1, 0 ). Написать ее уравнение.