3+

Задача № 1

При измерении температуры установлено, что массив результатов измерений можно считать случайными величинами с нормальным законом распределения, имеющим следующие параметры:

Математическое ожидание – mt =27,1

Среднее квадратическое отклонение – σ1 = 0,9 °C

Вычислить вероятность выполнения неравенства

t1 ≤ t ≤ t2 , где t1 = 26,25 °C, t2 = 27,65 °C

Решение

Для решения задачи воспользуемся интегралом вероятностей (функцией Лапласа). Для этого сформулируем независимую переменную

t1 – mt t2 – mt

следующего вида z1 = ───── ; z2 = ───── . Теперь, по таблицам

σt σt

интеграла вероятностей Ф(z), предоставленным в приложении [1], пользуясь числовыми значениями z1 и z2, находим соответствующие значения Ф(z1) и Ф(z2).

Искомая вероятность

Ведем расчет:

26,25-27,1 27,65-27,1

z1 = ──────── = 0,94 z2 = ──────── =0,61

0,9 0,9

Далее воспользуемся следующим свойством интеграла вероятностей

Ф(–z) = – Ф(z), т.е.

Р (t1 ≤ t ≤ t2) = Ф(z2) – (–Ф(z1)); Ф(–z1) = 1 – Ф(z1) =

Ф(z1) + Ф(z2) – 1 = 0,826+0,729-1=0,555

ОТВЕТ:

Р (t1 ≤ t ≤ t2) = Ф(z2) – Ф(z1) = 0,555

Задача № 2

Результаты измерений температуры t°C являются случайными величинами с распределением по нормальному закону с параметрами:

Математическое ожидание – mt = 20,1

Средним арифметическим отклонением – σ1 = 0,8 °C

Определить интервал ∆t, для которого вероятность Р удовлетворения неравенства │t – mt│≤ ∆t = 0,78

Решение

Используя интеграл вероятностей, находим

∆t ∆t ∆t ∆ t Р + 1

Р = Ф (──) – Ф(──) = 2Ф(──) – 1, отсюда Ф (──) = ──── = 0,89

σ1 σ1 σ1 σ1 2

Обращаясь к таблицам интеграла вероятностей в приложении к [1], находим числовое значение аргумента в круглых скобках, т.е.

∆t

── = 1,23 ∆t =0,984

0,8

ЗАДАЧА №3

Измерения случайной величины х подчинены нормальному закону распределения

Математическое ожидание – mх

Дисперсией – σˉ²

Вычислить вероятность выполнения неравенства │х – mх│≤ 0,8σх

РЕШЕНИЕ

Сформулируем случайную величину для функции интеграла

х – mх

вероятностей │────│≤ 0,8. По таблицам для интеграла вероятностей по

σх

значению z = 0,8 находим соответствующее значение интеграла вероятностей

Ф (z = 0,8 ) = 0,79 Искомая вероятность Р = 2Ф ( 0,8 ) – 1 = 0,58

ЗАДАЧА № 4

Результаты измерений давления р (МПа) являются случайными величинами, подчиненными закону равномерного распределения и находятся в пределах р1 ≤ р ≤ р2, где

р1 = 1,5 МПа

р2 = 1,4 МПа

Найти математическое ожидание mр и дисперсию σ²р для измеренных величин давления.

РЕШЕНИЕ

Формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид

р1 + p2 (p2 – p1)²

mp = ───── ; σ²р = ───── .

2 12

Подставив численные значения р1 и p2

1,5+2,4 (2,4-1,5)²

mp = ───── =1,95 σ²р = ───── =0,0675.

2 12

получим mp = 1,95 МПа

σ²р = 0,0675( МПа) ²