2. Теорія Бора для воднеподібних атомів

• теорії Бора вважається, що рух електрона по круговій стаціонарній ор-біті відбувається за законами класичної механіки під дією сили Кулона F_кул , яка

відіграє роль доцентрової сили. Оскільки маса m електрона значно менша від маси ядра атома, можна вважати ядро нерухомим. Розмістимо ядро у початку системи координат і запишемо другий закон Ньютона для електрона, який ру-хається зі швидкістю v навколо ядра по круговій орбіті радіуса r :

ma

F

;

m

v2

Ze2

.

(33.3)

кул

r

4

0 r 2

Повна енергія

E електрона на відстані r

від ядра буде дорівнювати сумі

mv2

Ze2

його кінетичної K

і потенціальної П

енергій:

2

4 0 r

mv2

Ze2

E

K

П

.

(33.4)

2

4

0 r

Від’ємне значення потенціальної енергії електрона відповідає характеру взаємодії між електроном і ядром: електрон притягується до ядра.

Рівняння (33.2), (33.3), (33.4) утворюють систему, розв’язавши яку відно-сно r і E , можна знайти радіуси стаціонарних орбіт та енергію атома у відпові-дних стаціонарних станах. Для цього, вилучаючи швидкість v з рівнянь (33.2) та (33.3), знайдемо радіуси стаціонарних орбіт:

rn	0 h2		n2	.	(33.5)
	me2		Z

21

Кафедра інформаційно-вимірювальних технологій, метрології та фізики

Фізика атома, атомного ядра та фізика твердого тіла

Для визначення енергії E стаціонарних станів атома виключимо v² з рі-

n

внянь (33.3) та (33.4), і в одержане таким чином співвідношення:

E	Ze 2
	8 0r

підставимо замість r значення r_n з формули (33.5). Після очевидних перетво-рень отримаємо:

En	me 4		Z 2	.	(33.6)
	8 02 h 2		n2

Ми одержали дискретний набір значень енергії електрона в атомі водню – енергетичний спектр атома. При Z 1 та n 1 формули (33.5) та (33.6) приво-дять до значень r₁ і E₁ – радіуса першої, найближчої до ядра, стаціонарної ор-

біти в атомі водню та енергії атома водню у найнижчому енергетичному стані, який називають основним станом. Величину r₁ 0,529 10 ¹⁰ м називають

б орівським радіусом, а E₁ – енергією основного стану атома водню. Легко ба-

чити, що, використовуючи значення r₁ та E₁ , формули (33.5) та (33.6) можна

подати у вигляді:
	n 2			Z 2
rn r1		;	Еn E1		.
	Z			n2

В атомній фізиці при вимірюваннях енергії частинок, атомів, молекул ко-ристуються більш зручною, аніж джоуль, позасистемною одиницею – елект-

рон-вольт: 1 еВ	1,6 10 19 Дж . У таких одиницях енергія основного стану
атома водню E1	13,6 еВ . Отже, радіуси стаціонарних орбіт, а також енерге-

тичні рівні атома водню та будь-якого воднеподібного атома легко розрахову-ються через борівський радіус r₁ та енергію E₁ основного стану атома водню.