Тогда ее решение имеет вид

(12)

если определитель системы отличен от нуля.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.

(13)

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n – r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

8. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы А п-го порядка, со­ответствующим собственному значению , если он удовлетворяет матричному уравнению

АХ=Х, или (А - Е)Х = 0

Здесь Е - единичная матрица n-го порядка, а 0 - нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор ХО, получаем характеристическое уравнение для определе­ния собственных значений :

(14)

Координаты собственного вектора X_i соответствующего собственному зна­чению _i, являются решением системы уравнений

(15)

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример 1. По координатам вершин пирамиды А₁ (3; -2; 2), А₂ (1; —3; 1), A₃ (2; 0; 4), А₄ (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер А₁А_г и А₁А₃; 2) угол между ребрами А₁А_г и А₁А₃; 3) площадь грани А₁А_гА₃ ; 4) объем пирамиды

Решение. 1) Находим векторы А₁А_г и А₁А₃:

Длины этих векторов, т. е. длины ребер А₁А_г и А₁А₃, таковы:

2) Скалярное произведение векторов и находим по формуле (1):

а косинус угла между ними — по формуле (5):

Отсюда следует, что — тупой угол, равный рад с точ­ностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А₁А_г и А₁А₃.

3) Площадь грани А₁А_гА₃ равна половине площади параллелограмма, по­строенного на векторах и , т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]:

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Сле­довательно,

4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор . Используя формулу (3), получаем

Пример 2. Найти угол между плоскостью Р₁, проходящей через точки А₁ (2; —4; 1), А₂ (—1; 2; 0), А₃ (0; —2; 3), и плоскостью Р₂ , заданной уравнением 5х+2у-3z=0.

Решение. Уравнение плоскости Р₁ находим по формуле (4):

т. е.

7(х-2)+4(у+4)+3(z-1)=0, 7x+4y+3z=1

По уравнениям плоскостей определяем их нормальные векторы: , . Угол между плоскостями и находим по формуле (5):

откуда

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А₁ (4; -3; 1) и А₂ (5; -3; 0).

Решение. Используя формулу (6), получаем

Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости y = -3.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(16)

Решение. Вычислим определитель системы

Так как , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера (11). Для этого найдем :

Подставляя найденные значения определителей в формулы (11), получаем ис­комое решение системы:

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.