Тема 8. Индексы Основные понятия и категории

Индекс – это относительная величина, которая характеризует изменение явления во времени, пространстве или степень отклонения от стандарта.

Как относительная величина индекс выражается в форме коэффициента, процента или промилле. Название индекса отражает его социально-экономическое содержание, а числовое значение – интенсивность изменения или степень отклонения. Например, региональный индекс преступности – 1,47, а отраслевой индекс производительности труда – 0,96.

Индексы выполняют две функции: синтетическую – это обобщающая характеристика изменения явления; аналитическую – изучение воздействия отдельных факторов на изменение явления. Большинство индексов выполняет обе функции одновременно.

В зависимости от цели сравнения индексы делятся на: динамичные – характеризуют изменение явления во времени; территориальные – отражают результат сравнения явления в пространстве (по различным объектам, регионам), межгрупповые – характеризуют отклонение от стандарта (эталонного, минимального, максимального) или от среднего уровня. Например, индекс превышения смертности мужчин по сравнению с женщинами.

В зависимости от вида величины, которая индексируется, различают индексы абсолютных и средних величин. По степени агрегированности информации индексы делят на индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы характеризуют соотношения уровней показателя для отдельных элементов совокупности или однородных групп, сводные – для определенного множества элементов. Основой построения сводных индексов является обобщение информации путем ее агрегирования (агрегатные индексы) или осреднения (средневзвешенные индексы). В структурируемой совокупности индексы могут быть групповыми (субиндексами) или общими. Например, индексы динамики заболеваемости по отдельным инфекционным болезням являются субиндексами, а динамики заболеваемости по инфекционным болезням в целом – общим индексом.

Показатель, который сравнивается во времени или пространстве, называют индексированной величиной. В международной статистике используют такую систему обозначений индексированных величин: р – цена; q – физический объем, а именно количество товаров, продукции и тому подобное; с – себестоимость единицы продукции; t – трудоемкость работы или производства продукции.

В динамичных индексах предыдущее значение величины, которое принимается за базу сравнения, обозначается подстрочной отметкой "0", а текущее, оценочное значение – "1". В территориальных индексах база сравнения произвольная. Например, индивидуальный индекс динамики цен а территориальный индекс количества проданных товаров

Предпосылкой расчета индивидуальных индексов есть сопоставимость измерения числителя и знаменателя. При агрегировании совокупности элементов, которые имеют различные единицы измерения, их физические объемы приводят к сравнимому виду посредством определенных соизмерителей. Используют соизмерители стоимостного характера (цена, себестоимость), тогда агрегатом будет или трудового (трудоемкость) – агрегат принимает вид

В агрегированных данных индексироваться могут: отдельно соизмерители отдельно "веса" или агрегат в целом. Если индексируется соизмеритель, то весы фиксируют на неизменном уровне (базисном или текущем). Так же фиксируется соизмеритель, если меняются веса. Используют две равноправных индексных системы:

	базисно-взвешенную (Ласпереса)	текуще-взвешенную (Пааше)
индекс цен
индекс физического объема

Относительное изменение агрегата в целом оценивается сводным индексом стоимости товаров (товарооборота)

Принимая во внимание мультипликативную связь между соизмерителем и весами , указанные индексы связываются в систему:

Эта связь обеспечивается, если один из индексов-сомножителей вычисляется по базисному весу, а второй – с текущим соизмерителем:

Или наоборот, один индекс – по текущему весу, а второй – с базисным соизмерителем:

Взаимосвязаны также индексы прямых и обратных показателей. Например, индекс трудоемкости и производительности труда или индекс потребительских цен и покупательной способности денежной единицы .

Например, если потребительские цены на товары выросли на 7,5%, то покупательная способность денежной единицы снизилась на 7%:

1:1,075=0,930.

В рамках системы взаимозависимых индексов определяется роль каждого отдельного фактора в относительном или абсолютном изменении агрегата.

Абсолютное изменение определяется как разница между числителем и знаменателем соответствующего индекса. Например, абсолютное изменение товарооборота в целом раскладывается на две составляющие:

за счет изменения цен

и за счет изменения физического объема товаров .

Пример. Расчет сводных взаимозависимых индексов рассмотрим по данным рынка автобензина в регионе (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Марка бензина	Продано за период, тыс. л		Цена за 1 л в периоде, грн.		Товарооборот, тыс. грн.
	базисный	текущий	базисном	текущем
А-76	150	95	0,46	0,48	69	45,6	43,7
А-92	120	110	0,55	0,58	66	63,8	60,5
А-95	70	125	0,60	0,66	42	82,5	75,0
Всего	–	–	Х	Х	177	191,9	179,2

Индекс товарооборота =191,9/177,0=1,084 показывает, что стоимость проданного автобензина в целом по региону увеличилась на 8,4%.

Как свидетельствует индекс цен =191,9/179,2=1,071, цены на бензин трех марок выросли в среднем на 7,1%.

Индекс физического объема составляет =179,2/177,0=1,012, т.е. объем проданного автобензина увеличился в среднем на 1,2%.

Произведение взаимозависимых индексов =1,071*1,012=1,084 подтверждает результаты расчета.

Абсолютный прирост стоимости проданного автобензина в целом составляет: =191,9-177,0=14,9 тыс. грн., в том числе за счет повышения цен =191,9 - 179,2=12, 7 тыс. грн., за счет увеличения объемов продажи – =179,2-177,0=2,2 тыс. грн.

Сводные индексы могут определяться также как средние соответствующих индивидуальных индексов. Условиями применения средневзвешенных индексов являются однонаправленность изменений составляющих индивидуальных индексов и сравнимость элементов во времени или пространстве.

Средневзвешенный индекс – это среднее индивидуальных индексов, взвешенных на объемы, имеющие одинаковую размерность и зафиксированные на неизменном уровне.

Такими объемами являются известные уже агрегаты: Уровень, на котором фиксируются объемы, выбирается, исходя из агрегатной формулы соответствующего индекса.

Средневзвешенный индекс цен определяют по тождественному агрегатному индексу

где условный товарооборот вычисляется через индивидуальный индекс цен , отсюда , а

Следовательно, средневзвешенный индекс цен и любого другого соизмерителя определяется по формуле средней гармонической взвешенной

Средневзвешенный индекс физического объема определяют по формуле средней арифметической взвешенной

путем аналогичных преобразований условного товарооборота из тождественного агрегатного индекса

через соответствующие индивидуальные индексы . Поскольку , то .

Абсолютное изменение индексированной величины определяется по схеме, аналогичной схеме агрегатных индексов.

Пример расчета средневзвешенных индексов цен и количества проданных акций на фондовом рынке приведен в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Рынок	Объем торгов, млн. грн.		Темп прироста, %
	базисный период	текущий период	цен на акции	количества акций
Первичный	80	190	+90	+35	1,9	1,35
Вторичный	40	120	+150	+20	2,5	1,20
Всего	120	310	Х	Х	Х	Х

Средневзвешенный индекс цен составляет:

следовательно, в целом по фондовому рынку цены на акции в текущем периоде по сравнению с базисным выросли в среднем в 2,09 раза.

Средневзвешенный индекс количества проданных акций равняется:

поэтому количество проданных акций в среднем возросло на 30%.

Индексы средних величин характеризуют относительное изменение среднего значения показателя х.

Уровень средней зависит от значений признака х и соотношения весов:

,

где f_j – частота; d_j – доля j-й составляющей совокупности.

Соответственно динамика средней определяется изменением значений x_j и структурными сдвигами d_j. Оценка воздействия каждого из факторов осуществляется в рамках системы индексов средних величин: переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава характеризует относительное изменение средней величины в целом за счет обоих факторов: признака x_j и структуры совокупности d_j.

.

Индекс фиксированного состава I_x показывает изменение средней величины за счет изменения только значений признака при неизменной структуре совокупности:

.

Индекс структурных сдвигов I_d показывает изменение средней за счет сдвигов в структуре совокупности:

.

Формулы индексов фиксированного состава и структурных сдвигов разновзвешенные. В I_x веса фиксируются на уровне текущего периода, а в I_d значение признака х – на уровне базисного периода. Такой принцип взвешивания обеспечивает увязку трех индексов в систему:

.

Пример. Определим индексы среднего размера страхового тарифа при страховании легковых автомобилей со сроком эксплуатации до 3 лет (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Автомобиль	Страховой тариф, %		Страховая сумма, тыс. грн.		Сумма страхового возмещения, тыс. грн.
	базисный период x0	текущий период x1	базисный период f0	текущий период f0	x0f0	x1f1	x0f1
Отечественный	2,5	3,0	520	750	13,0	22,5	18,75
Зарубежный	5,0	6,0	380	850	19,0	51,0	42,50
Всего	--	--	900	1600	32,0	73,5	61,25

Индекс переменного состава составляет

и показывает, что средний страховой тариф в текущем периоде по сравнению с базисным повысился на 27,8%. Индекс фиксированного состава

,

т.е. за счет повышения страхового тарифа по каждой группе автомобилей средний страховой тариф увеличился на 21,1%. Индекс структурных сдвигов составляет: I_d=0,038:0,036=1,056, следовательно, средний страховой тариф увеличился на 5,6% за счет изменения в составе объектов страхования, а именно – увеличения доли страховой суммы зарубежных автомобилей с более высокой страховой ставкой.

Взаимосвязь взаимозависимых индексов обеспечивается:

=1,211 •1,056=1,278.

Разновидностью индексов средних величин являются территориальные индексы, в которых средние уровни сравниваются по отдельным территориям, объектам.

Для построения территориальных индексов необходимо обосновать базу сравнения и порядок фиксации в пространстве значений признака х_j и структуры совокупности d_j. База сравнения может быть разной или одинаковой. Разная база, т.е. по каждому объекту "своя", выбирается произвольно, в зависимости от цели сравнения. Одинаковой базой может быть средняя или стандартная для двух объектов, например, при сравнении смертности населения отдельных стран за стандарт берется европейская структура населения по возрасту. Средняя база для значений признака x_j определяется как средняя арифметическая взвешенная по двум объектам, а средняя структура – как структура суммарной двух объектов совокупности.

Территориальный индекс переменного состава по объектам А и В вычисляется по формуле

и показывает, в сколько раз средний уровень признака объекта А больше или меньше, чем объекта В.

Территориальный индекс фиксированного состава:

,

где f^st – частота; d^st – доля стандартной структуры совокупности. Вместо стандартной структуры совокупности может использоваться средняя структура. I_x показывает соотношение средних значений признака при фиксированной структуре совокупности.

Пример. Расчет территориальных индексов средней ожидаемой продолжительности жизни населения двух стран показан в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Группа населения	Средняя ожидаемая продолжительность жизни, лет		Структура населения по полу, %
	страна А xA	страна В xB	страна А dA	страна В dB	стандартная dst
Мужчины	72	62	46	52	49
Женщины	78	65	54	48	51
Всего	Х	Х	100	100	100

Территориальный индекс переменного состава составляет (72*0,46+78*0,54):(62*0,52+65*0,48)=75,24:63,44=1,186. Следовательно, средняя ожидаемая продолжительность жизни населения страны А в 1,186 раза больше, чем в стране В.

Индекс фиксированного состава за стандартной структурой составляет:

= (72*0,49+78*0,51):(62*0,49+65*0,51)=75,06:63,53 =1,181.

Т.е., при условиях стандартной структуры населения в обеих странах средняя ожидаемая продолжительность жизни в стране А превышает уровень страны В на 18,1%.