I.Уравнения высших порядков, допускающие разделение переменных
6.
Как решается уравнение вида:
,
правая часть которого не зависит от
.
(Решение уравнения находится последовательным понижением порядка с помощью интегрирования, так
.
Продолжая подобную процедуру после п-го интегрирования получим искомое решение. В общем, виде имеем
,
где интегрирование повторяется п раз.)
7. Как
решается уравнение
в том случае, когда невозможно выразить
в явном виде производную п – го
порядка.
(Заменив исходное уравнение на эквивалентную параметрическую систему
найдем дифференциалы
Из первого равенства
системы
подставим во второе, получим равенство
двух дифференциалов
,
откуда
.
Аналогично
:
и так далее, в результате имеем
окончательное решение в виде п –
кратной квадратуры
.)
II. Уравнения не содержащие функции в явном виде.
8.
Как понизить порядок уравнения, не
содержащего
функции у
и ее нескольких первых последовательных
производных
,
т.е. уравнение вида
.
(Вводя новую функцию
,
понижаем порядок уравнения на k
единиц:
.)
III. Уравнения не содержащие независимой переменной в явном виде.
9. Как понизить порядок уравнения, когда оно явно не зависит от х.
(Тогда за независимую переменную можно принять у, а за новую функцию принять р(у) = у', где р – есть функция от у.)
10. Запишите, применяя правило дифференцирования сложной функции, как выразятся производные у по х второго и третьего порядка.
(Получим выражения
.)
11. Каков порядок уравнения будет после подстановки найденных производных.
(В новых переменных порядок уравнения будет п-1.)
IV. Уравнения, содержащие только две последовательные производные.
12.
С помощью какой подстановки уравнение
сводится к уравнению первого порядка.
(Равенство можно
свести к уравнению первого порядка с
помощью замены
.)
13.
Если старшая производная может быть
явно выражена через младшую производную
,
то, к какому типу уравнения эта замена
приводит.
(К уравнению с
разделяющимися переменными
.)
14. Выполните разделение переменных и интегрирование в равенстве .
(После разделения
переменных можно перейти к интегрированию
,
.)
15. Как поступить с
равенством
в случае, когда старшая производная не
может быть выражена через младшую.
(Необходимо использовать эквивалентную параметрическую систему
)
16. Выполните разделение переменных и интегрирование в полученной системе.
(Найдем
дифференциалы
так
как левые части равны, то можно выразить
из последней системы дифференциал
:
,
,
.)
V. Уравнения, содержащие только две последовательные четные или нечетные производные.
17.
С помощью какой подстановки уравнение
сводится к уравнению второго порядка.
(Исходное равенство
сводится к уравнению второго порядка,
используя подстановку
,
следовательно, получим
.)
18.
Что надо сделать в соотношении
,
чтобы получить равенство дифференциалов:
в левой части от
,
в правой части от функции и.
(Умножим обе части
на выражение
:
.
Это позволит в левой части выделить
полную производную
.
Умножая обе части на
переходим к равенству дифференциалов
- уравнение с разделенными переменными,
которое можно интегрировать.)
19. Как поступить с равенством в случае, когда старшая производная не может быть выражена через младшую.
(В случае, когда старшая производная не может быть выражена через младшую необходимо использовать эквивалентную параметрическую систему
)
20. Выполните преобразование полученной системы к равенству полных дифференциалов.
(Найдем
дифференциал из первого равенства
,
а во втором умножим обе части на выражение
:
или
после сокращения на
и замены
,
получим равенство полных дифференциалов
.)