Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5392 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Черниговский национальный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
РГР 2 (КЧ ).docx
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.01 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

2.2 Пряма на площині

Завдання 2.2

Зразок розв’язання

  1. Дано вершини трикутника: А (1,-3), В (2,5) і С (8,1). Знайти точку перетину медіани, проведеної з вершини Аі висоти – з вершини В, а також довжину медіани, проведеної з вершини А.

Розв’язання:

Рис. 1

Складемо рівняння медіани АD. Координати точки D знаходимо за формулою координат середини відрізку . D (5;3). Використовуємо рівняння прямої, що проходить через дві точки . Отримуємо: .

Рівняння медіани AD: .

Складемо рівняння висоти, проведеної з вершини В. Оскільки ВЕ  АС, отже . Кутовий коефіцієнт прямої АС знаходимо за формулою . Отже, . Використаємо рівняння прямої, що проходить через дану точку М0 (x0,y0) в заданому напрямі .

Рівняння висоти з вершини В: , .

Для знаходження координат точки перетину медіани, проведеної з вершини А і висоти, проведеної із вершини В, потрібно розв’язати систему рівнянь . Точка

О (4; ).

Довжина медіани знаходиться за формулою відстані d між точками А (x1,y1)і D (x2,y2) на площині .

А (1,-3), D (5,3) .

  1. Скласти рівняння прямих, що проходять через початок координат, і які утворюють з прямою .

Розв’язання:

Рис. 2

Рівняння прямих мають вигляд , оскільки прямі проходять через початок координат. Задача має два розв’язки (рис. 2). Для розв’язання використовуємо формулу , причому, оскільки нас цікавить гострий кут, то праву частину формули візьмемо по абсолютній величині. Нехай кутовий коефіцієнт однієї з шуканих прямих дорівнює k. Кутовий коефіцієнт заданої прямої дорівнює 3. Оскільки кут між цими прямими дорівнює , то .

Тоді , звідси і .

Розв’язуючи кожне з отриманих рівнянь, знаходимо, що кутовий коефіцієнт однієї з прямої , а другий . Рівняння шуканих прямих .

  1. Дано вершини А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеції ABCD (AD  BC). Скласти рівняння середньої лінії трапеції. Отримане рівняння привести до рівняння у «відрізках» і до нормального.

Розв’язання: Складемо рівняння прямої ВС (рівняння прямої, що проходить через дві точки).

Від загального рівняння прямої ( ) перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом ( ).

Середня лінія трапеції паралельна ВС і проходить через середину відрізку АВ. Е – середина АВ, отже Е ( ).

Оскільки прямі паралельні, то . Використаємо рівняння прямої

Рівняння середньої лінії трапеції: .

Рівняння прямої на відрізку х:

Рис. 3

, а – величина відрізку що відсікається прямою на осі ОХ, b - величина відрізку , що відсікається прямою на осі ОY.

Переносячи вільний член даного рівняння в праву частину рівності, отримаємо . Поділивши обидві частини рівності на -5, будемо мати . Отже, (рис. 4).

Рис. 4

Нормальне рівняння прямої (рис. 5) , р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,  - кут, який утворює цей перпендикуляр з додатнім напрямком осі ОХ.

Рис. 5

Для приведення загального рівняння прямої до нормального виду обидві її частини потрібно помножити на нормуючий множник , до того ж, перед дробом слід вибрати знак, протилежний знаку вільного члена С в загальному рівнянні прямої.

Знаходимо нормуючий множник (знак мінус береться тому, що

С=50). Таким чином, нормальне рівняння отриманої прямої має вигляд .

Направляючі косинуси . Довжина перпендикуляра з початку координат до прямої .

  1. Знайти відстань між паралельними прямими .

Розв’язання: Шукану відстань знайдемо як відстань від довільної точки першої прямої до другої прямої. Візьмемо на першій прямій довільну точку, наприклад, точку з абсцисою . Її ордината . Отже, на першії прямій вибрана точка А (1;3). Знайдемо тепер відстань від цієї точки до другої прямої за формулою .

.

  1. Дано точки М1 (-3; 7; -5) і М2 (-8; 3; -4). Скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 і перпендикулярно вектору .

Розв’язання: Знайдемо координати нормального вектора . Маємо .

Рівняння площини, що проходить через дану точку М ( ). Перпендикулярно даному вектору : .

Шукане рівняння площини: .

  1. Через точку перетину площин провести площину, паралельну площині . Знайти відстань точки М1 (1; -1; -1) до побудованої площини.

Розв’язання:

Площини перетинаються, отже . Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо точку М (3; 5; 7).

Оскільки шукана площина паралельна площині , то в якості її нормального вектора можна взяти нормальний вектор даної площини

( - умова паралельності двох площин).

Використовуючи рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно данному вектору , отримуємо . Це і є шукане рівняння.

Відстань від точки до площини знаходиться за формулою . У даному випадку .

  1. Площина  проходить через точки: . Площина  проходить через вісь ОХ і точку . Знайти кут між площинами  і .

Розв’язання: Рівняння площини, що проходить через три точки має вигляд . У даному випадку .

Розкриваючи цейвизначник, отримаємо - рівняння площини . Якщо площина проходить через вісь ОХ,

А=0, D = 0 (загальне рівняння площини ) тобто . Площина  проходить через вісь ОХ і точку М4 (9,-3, 8). Підставляємо в це рівняння координати точки М4 отримаємо чи , такимчином, маємо , тобто - рівняння площини .

Кут між площинами знаходиться за формулою

,

де . Нормальний вектор площини : . Для площини : . Визначаємо гострий кут між площинами  і :

.

  1. Загальне рівняння прямої записати в канонічному вигляді.

Розв’язання:

Перший спосіб. Намітимо такий план розв’язку задачі: з системи виключимо спочатку y і виразимо z через x, потім виключимо х і виразимо z тепер уже через y.

Для того щоб з системи виключити у, складемо перше рівняння системи почленно з другим. Отримаємо, що , звідки .

Домножуючи перше рівняння на (2), а друге на ,(-3) і складаючи їх почленно, отримаємо , звідки чи .

Порівнюючи знайдені значення z, отримуємо рівняння прямої в канонічнмому вигляді .

Домножуючи тепер всі знаменники на 15, в решті решт отримаємо . Пряма проходить через точку і має направляючий вектор .

Другий спосіб. Знайдемо направляючий вектор прямої. Оскільки він повинен бути перпендикулярним нормальним векторам заданих площин і , то в якості його можна взяти векторний добуток векторів : .

Таким чином, l = -3, m = 8, n = -15. За точку , через яку проходить шукана пряма, можна приняти точку її перетину з будь-якою з координатних площин, наприклад з площиною ХOY. Оскільки при цьому , координати знаходяться з системи рівнянь заданих площин, якщо покласти в них

, звідси отримуємо . Оскільки канонічне рівняння має вигляд , то в даному випадку .

  1. Написати рівняння прямої l, що проходить через точки А (-1; 2; 3) і В (5; -2; 1). Чи лежать на цій прямій точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При якому значенні m пряма l перпендикулярна прямій .

Розв’язання: Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки М (х1; y1; z1) і N(x2; y2; z2):

Пряма l: . Підставляємо в ці рівняння координати точок K, L, M, відповідно знаходимо: ; ; . Отже, Kl, Ml, Ll. Умова перпендикулярності двох прямих - . У даному разі для прямої .

Тоді

При прямі перпендикулярні.

  1. При яких значеннях n та А пряма та площина будутьь перпендикулярні? При n = -1 і А = 3 знайти точку перетину прямої з площиною, і кут між ними.

Розв’язання: - умова перпендикулярності прямої та площини (рис. 6).

Рис. 6

В даному випадку

При А = -4; n = пряма та площина перпендикулярні.

Якщо n = -1, то пряма має вигляд .

Якщо А = 3, то площина має вигляд .

Запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді: . Підставляючи значення x, y, z в рівняння площини, маємо , звідки . Підставляючи тепер це значення t в параметричне рівняння прямої, знаходимо координати точки перетину: , М (5; 5; -2).

Гострий кут між прямою та площиною знаходиться за формулою . Враховуючи, що , отримаємо

  1. Дана пряма та точка, що не належитьь їй М (1; 1; 1). Знайти точку N, симетричну М відносно даної прямої.

Розв’язання: Проведем через М площину , перпендикулярну до даної прямої. : чи .

Знайдемо точку Q, де ця площина перетинає дану пряму. Запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді: . Підставляючи x, y, z в рівняння площини, отримаємо , звідси

Точка Q має координати . Тоді координати симетричної точки можна Знайти з формули координат середини відрізку, тобто або . Звідки . Отже, .

Варіанти для індивидуальної контрольної роботи

Варіант 1

  1. Перевірити, чи є прямокутним трикутник з вершинами А (4; -5), B (7; 6) і С (-7; -2). Скласти рівняння його сторін.

  2. Через точку перетину прямих провести пряму, що складає з віссю ОХ кут 45°.

  3. До якої з двох прямих: точка М(-1;2) знаходиться ближче?

  4. Показати, що відрізки прямих створюють трапецію. Знайти внутрішні кути трапеції.

  5. Дано тетраедр з вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) і В (-4; 6; -3). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини А, і кут між гранями ВСD і АСВ . Скласти рівняння площини, що проходить через вершину А паралельно грані BCD.

  6. Площина проходить через точку M (1; -3; 5) і відсікає на осях ОY і OZ вдвічі бsльшs відрізки, ніж на осі ОX. Обчислити направляючі косинуси прямою, перпендикулярної до цієї площини.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь Ох перпендикулярно до площини .

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти точку перетину прямої з площиною і кут між ними.

  10. Дано трикутник з вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В. При якому значенні m пряма буде перпендикулярна побудованій прямій?

  11. Перевірити, чи лежить пряма на площині .

Варіант 2

  1. Написати рівняння висот трикутника, вершини якого знаходяться в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).

  2. Знайти кут нахилу до осі ОХ і початкову ординату прямої . Побудувати дану пряму.

  3. Знайти відстань між паралельними прямими .

  4. Дано рівняння сторін трикутника: . Визначити кут між медіанами, проведеними з вершин А і В.

  5. Площина  проходить через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) і C (2; 6; 1), площина  задана рівнянням . Показати, що площини перпендикулярні, і з'ясувати, яка з них розташована ближче до початку координат.

  6. Через точку M (-5; 16; 12) проведені дві площини: одна з них містить вісь OX, друга - ОY . Обчислити кут між цими площинами.

  7. Через точку М (2; 3; -1) провести площину, паралельну площині . Скласти для побудованої площини рівняння в "відрізку".

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А (1; -5; 3) і утворює з осями координат ОХ і OY кути, які відповідно дорівнюють і 45, а з віссю OZ – тупий кут.

  10. Показати, що прямі взаємно перпендикулярні.

  11. При якому значенні А площина буде паралельна прямій . При А = 4 знайти кут між ними.

Варіант 3

  1. В паралелограмі АВСD дано вершини А (-1; 3), В (4; 6) і С (1;-5). Скласти рівняння його сторін.

  2. Яка залежність існує між а і b , якщо кут нахилу прямої до осі OX дорівнює 45° ?

  3. Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму , та кут, утворений цим перпендикуляром з віссю ОУ.

  4. Дано трикутник з вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) і С (-3; 5). Визначити координати точки перетину і гострий кут між медіаною, проведеної з вершини А, та висотою, проведеної з вершини С на сторону АВ.

  5. Площина  проходить через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) і С (5; 4; -2), площина  проходить через точку М (2; -3; -9) та відсікає на осях ОХ та ОУ відрізки а = 18, b = 27. Показати, що площини паралельні, та знайти відстань між ними.

  6. Написати рівняння площини, що проходить через точку М (-3; 1; 2) паралельно до векторів . Знайти кут між побудованою площиною і площиною .

  7. Нормаль до площини складає з координатними осями ОХ і ОУ кут  = 150° і  = 120°. Скласти рівняння площини за умови, що відстань Р від початку координат до її дорівнює 5 од. Вказати особливість в разташуванні площини.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти гострий кут між прямими, одна з яких задана рівнянням , а друга проходить через точки А (2; -5; 3) і В (13; 2; -5).

  10. При яких значеннях В і n пряма перпендикулярна площині ?

  11. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (-4; -7; 1) і паралельна прямій .

Варіант 4

  1. В трикутнику АBС і вершини А (-3; -4), В (1; -2) і С (7; -2). Скласти рівняння середньої лінії, паралельної АС , і медіани, проведеної з вершини В.

  2. Скласти рівняння прямої, якщо відомо, що вона проходить через точку A(-1; 4) паралельно прямії .

  3. Сторони трикутника виражаються рівняннями . Знайти рівняння висоти, опущеної з вершини B на сторону АС і її довжину.

  4. Через початок координат провести прямі, що утворюють з прямою кути, тангенси яких дорівнюють .

  5. Написати рівняння площини, паралельної до осі ОХ, що проходить через точки М (0; 1; 3), N (2; 4; 5), побудувати її. Знайти відстань точки А (3; 2; -5) до побудованої площини.

  6. При якому значенні l площини  і  будуть перпендикулярні? Площина  проходить через точки К (-1; ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Площина  задана рівнянням . При l = 3 Знайти гострий кут між площинами  і .

  7. Написати рівняння площини, що проходить через точку М (-2; 7; 3) паралельно до площини . Отримане рівняння площини привести до нормального вигляду.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямими і .

  10. Дано вершини чотирикутника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні.

  11. Знайти значення m, при якому пряма паралельна площині . При m = -2 знайти точку перетину прямої з площиною.

Варіант 5

  1. Дано вершини трикутника: А (4; 6), В (-4; 0) і С (-1; -4). Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону BС, і медіани, проведеної з вершини С.

  2. Знайти площа трикутника, заключенного між осями координат і прямою .

  3. Дана пряма . Знайти рівняння прямої, паралельной даної що знаходиться на відстані від неї 3 одиниць.

  4. Знайти гострий кут між прямою і прямою, що проходить через точки А (1; -1) і В (5; 7).

  5. На осі ОX знайти точку, віддалену від площини, що проходить через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору , на відстань .

  6. Знайти кут між площинами  і , де  проходить через точки A (1; ; ), В (2; 0; 1) паралельно осі OZ , а  - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) і E (-1; -1; 3).

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно вектору , направляючі косинуси якого відповідно дорівнюють . Перевірити, при якому значенні шукана площина перпендикулярна площині .

  8. Написати канонічне рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямою та площиною .

  10. Знайти проекцію точки М (-6; 5; 7) на пряму .

  11. Довести, що чотирикутник з вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) є паралелограмом. Знайти довжини його сторін.

Варіант 6

  1. Дано вершини трикутника: А (2; -1), В (4; 5) і С (-3; 2). Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини В на сторону АС, і медіани, проведеної з вершини А.

  2. Через точку А(1; 2) провести пряму, що відсікає на додатніх півосях координат рівні відрізки.

  3. Знайти довжину перпендикуляра, проведенного з початку координат до прямої , і кут, утворений цим перпендикуляром з віссю ОХ .

  4. Перевірити, що прямі служать сторонами рівнобедренного трикутника.

  5. Нормаль до площини складає з координатними осями ОY і OZ кути  = 60° і  = 45°, а з віссю ОХ - тупий кут. Скласти рівняння площини за умови, що відстань р від початку координат до її дорівнює 8 одиницям. Знайти відстань від точки A (1; -1; ) до побудованої площини.

  6. Визначити об’єм тетраедра, обмеженого координатними площинами і площиною , що проходить через точки А (0; 4; 1), B (6; 2; 0), С (3; 0; 2). Знайти кут між площиною  і площиною XОY.

  7. Показати, що паралелепіпед, грані якого лежать в площинах , є прямокутним.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти точку перетину прямої з площиною і кут між ними.

  10. Написати рівняння площини, що проходить через точку М (-3; 5; -1) і перпендикулярна прямій .

  11. Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) і C (-2; -6; 11) є трьома вершинами паралелограма. Скласти рівняння сторони CD.

Варіант 7

  1. Дано вершини трикутника: А (-1; 2), В (3; -1) і С (0; 4). Через кожну з них провести пряму, паралельну протилежній стороні.

  2. Пряма проходить через точку А(-1; -9) і відсікає на від’ємній полуосі абсцис відрізок, вдвічі менший, ніж на від’ємній полуосі ординат. Скласти рівняння цієї прямої.

  3. Дані рівняння сторін трикутника: . Знайти довжину висоти, яка проведена з вершини, що лежить на осі абсцис.

  4. Дано вершини чотирикутника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) і D (6; -3). Обчислити кут між діагоналями АС і ВD.

  5. Дві з граней куба розташовані на площинах . Знайти його об’єм.

  6. Знайти кут між площиною і площиною, що проходить через точки М (1; 1; 1) і N (2; 3; -1) паралельно вектору ={0; -1; 2}.

  7. Скласти рівняння площини АВС, де А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), і вказати особливість в її розташуванні. Знайти кути, що створені перпендикуляром, який опущений з початку координат до площини, з координатними осями.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямою і площиною .

  10. При якому значенні n прямі будуть взаємно перпендикулярні?

  11. Вершини чотирикутника знаходяться в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показати, що ABCD є трапеція і знайти довжини її основ.

Варіант 8

  1. Перевірити, що чотири точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) і D (3; 1) служать вершинами трапеції, і скласти рівняння середньої лінії трапеції.

  2. Яка залежність існує між а і b , якщо кут нахилу прямою до осі ОX дорівнює 30° ?

  3. Через точку перетину прямих проведена пряма, перпендикулярна першій з даних прямих. Яка відстань отриманої прямої від початку координат?

  4. Визначити гострий кут, під яким перетинаються прямі АВ і СD, якщо А(2; 4), В (4; 8), С (8; 3) і D (10; -2).

  5. Скласти рівняння площин, паралельних площині , які віддалені від точки А (1; 2; 0) на од.

  6. Знайти кут між площиною, що проходить через точку M (3; 6; -2) і відтинаючої на осях координат відрізки, зв’язані співвідношенням а: в : з =1:3:2, і площиною XOZ.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь ОУ перпендикулярно до площини, що проходить через точки А (0; 2; 0), В ( 0; 1) і С ( ).

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки перетину площини з прямими . Визначити направляючі косинуси прямої.

  10. При якому значенні m прямі будуть взаємно перпендикулярні? При m = 1З знайти кут між ними.

  11. Написати рівняння площини, яка проходить через точку М (3; 1; -2) і пряму .

Варіант 9

  1. Дано вершини трикутника: А (3; 0), В (0; 3) і С(-2; -1). Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини С на сторону АВ, і знайти її довжину.

  2. Із пучка прямих з центром в точці О(2; -5) вибрати пряму, що відсікає на додатній полуосі ординат відрізок, який дорівнює 3 одиницям. Отримане рівняння прямої привести до нормального вигляду.

  3. Знайти пряму, що проходить через точку перетину прямих і паралельну прямій .

  4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку. М (-4; 1) і яка утворює кут з прямою .

  5. Знайти відстань від точки перетину площин до площини, що проходить через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору .

  6. Дано тетраедр з вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) і D (0; -4; 4). Знайти кут між гранями ABD і BCD.

  7. Площина  проходить через точку М (-5; 4; 13) і відсікає на осях координат рівні відрізки. Площина  задана рівнянням, . При якому значенні m площини  і  будуть перпендикулярні?

  8. Написати канонічні рівняння прямої:

  9. Дано дві вершини паралелограма ABCD: С (-2; 3; -5) і D (0; 4; -7) і точка перетину діагоналей M (1,2,-3; 5). Знайти рівняння сторони AB і кут між діагонялями AC і BD.

  10. При яких значеннях В і С пряма перпендикулярна площині ?

  11. При яких значеннях А і С пряма лежить в площині ?

Варіант 10

  1. Вершини чотирикутника мають координати Р(1; 0), Q(2; ), R(5; 2) і S(6; -1). Знайти точку перетину його діагоналей.

  2. Діагоналі ромба дорівнюють 8 і 3 одиницям. Написати рівняння сторін ромба, якщо більша діагональ лежить на осі ОХ, а менша - на осі ОУ . Обчислити відстань між паралельними сторонами цього ромба.

  3. Скласти рівняння перпендикуляра, встановленого в середині відрізку, що з’єднує точки М (-1; 7) і N (3; -1). Який кут утворює він з додатнім напрямом осі ОХ?

  4. Обчислити кут між прямими .

  5. Скласти рівняння площини, що проходить через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору , де В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Вказати особливості в разташуванні площини. Знайти відстань від точки D (6; -2; 13) до побудованої площини.

  6. При якому значенні m кут між площинами  і  дорівнює ? Площина  проходить через точки А ( ), В (-3; 1; 1) і С (2; 4; -7), площина  задана рівнянням .

  7. Знайти рівняння площини, що проходить через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) і перпендикулярної до площини ХОY.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Скласти канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М (1; 2; 3), якщо направляючий вектор прямої утворює з координатними осями ОХ і OZ кути  = 120°,  = 45°, а з віссю ОY - гострий кут.

  10. В площині XOZ знайти пряму, що проходить через початок координат і перпендикулярно до прямої .

  11. При якому значенні С площина буде паралельна прямій . При С = -2 Знайти кут між ними.

Варіант 11

  1. Показати, що точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) і Q (-1; 0) є вершинами трапеції. Знайти рівняння висоти трапеції, її довжину.

  2. Знайти кут нахилу до осі ОХ.і початкову ординату прямої .

  3. Визначити, які з рівнянь прямої являються нормальними:

  1. Знайти вершини прямокутного рівнобедреного трикутника, якщо дано вершини прямого кута С(3; -1) і рівняння гіпотенузи .

  2. Знайти таке число , щоб площина була паралельна площині , і визначити відстань між ними.

  3. Побудувати лінії перетину координатних площин з площиною , що проходить через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) і С(2; 3; 2), Знайти кут між площиною  і площиною XOZ.

  4. Написати рівняння площини, що проходить через точку М(1; 1; 1) паралельно векторам ={0; 1; 2} і = {-1; 0; l}. Вказати особливість в розташуванні площини.

  5. Написати канонічні рівняння прямої: .

  6. Дано трикутник з вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) і С(5; 4; -3). Знайти кут між медіанами, проведеними з вершин А, С, і їх довжини.

  7. Знайти проекцію точки М (1; 2; -3) на площині .

  8. Чи паралельні прямі ?

Варіант 12

  1. Дано дві вершини трикутника: А (-4; 3), B (4; -1) і точка перетину висот М (3; 3). Знайти третю вершину С.

  2. Написати рівняння прямої, якщо довжина нормалі р = 2, а кут нахилу її до осі ОХ дорівнює 225°.

  3. Показати, що прямі паралельні. Знайти відстань між ними. Побудувати вказані прямі.

  4. Прямі АВ і СD перетинаються в точці М(4; 2; 5) під кутом 45°. Написати рівняння прямої СD, якщо координати точки А(0; 5).

  5. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь ОУ і рівновіддалена від точок А (2; 7; 3) і 3 (-1; 1; 0).

  6. Площина  проходить через проекції точки М (2; 1; 2) на осі координат, а площина  через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) і С (0; 1; 2). Знайти кут між площинами  і .

  7. Написати рівняння площини, що проходить через точки М(1; 2; 0) і N(2; 1; 1) паралельно вектору ={3; 0; 1} . Отримане рівняння привести до нормального вигляду.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Дано дві вершини трикутника: А (-4; -1; 2) і В (3; 5; -16). Знайти третю вершину С і кут при вершині А, знаючи, що середина сторони АС лежить на осі ОY, а середина сторони ВС -на площини XOZ .

  10. З початку координат опустити перпендикуляр на пряму .

  11. При яких значеннях В і D пряма лежить в площині ?

Варіант 13

  1. Дано координати середин сторін трикутника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Скласти рівняння сторін трикутника.

  2. Дано рівняння прямої . Написати рівняння в відрізках і нормальне рівняння.

  3. Знайти відстань від точки перетину прямих, заданих рівняннями до прямої .

  4. В рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС і вершина гострого кута А(2; 6) і рівняння протилежного катета . Скласти рівняння двох інших сторін.

  5. Знайти відстань від точки М (0; -1; 1) до площини, що проходить через точки А(1; 4; -5) і В(4; 2; -3) і перпендикулярної площини .

  6. Обчислити косинуси внутрішніх двогранних кутів тетраедра, що створений площинами координат і площиною, що проходить через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4) і С(3; 0; 12).

  7. Дана площина . Знайти кути її нормалі з осями координат. Перевірити, чи проходить площина через одну з наступних точок: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4), С , D .

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти точку перетину прямої з площиною і кут між ними.

  10. При якому значенні m прямі будуть взаємно перпендикулярні?

  11. Три вершини трапеції знаходяться в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) і С(-1; 1; -3). Знайти рівняння середньої лінії трапеції, паралельної АВ.

Варіант 14

  1. Вершинами трикутника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) і C(6; 3). Знайти центр описаного біля нього круга.

  2. Через точку М (3; 2) провести пряму так, щоб її відрізок, що заключений між осями координат, ділився в даній точці навпіл.

  3. Скласти рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт яка буде на відстані од. від початку координат.

  4. Дві прямі, що проходять через початок координат, створюють між собою кут . Відношення кутових коефіцієнтів цих прямих дорівнює . Скласти рівняння цих прямих.

  5. Написати рівняння площин, паралельних площині, що проходить через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) і віддалених від її на відстань d = 4.

  6. Написати рівняння площини, що проходить через вісь ОX і що створює кут 60° з площиною Y = X.

  7. Визначити об’єм тетраедра, обмеженого координатними площинами і площиною, що проходить через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору ={2; -1; 6}.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти гострий кут між прямими:

  10. Показати, що трикутник з вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) і С(4; 0; 3) прямокутний. Знайти його периметр.

  11. Пряма проходить через точки А(3; -1; 0) і В(х; -7; 3) і паралельна площині . Визначити абсцису точки В і направляючі косинуси побудованої прямої.

Варіант 15

  1. Дано послідовні вершини паралелограма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Знайти кут між його діагоналями і показати, що даний паралелограм є прямокутником.

  2. При якому значенні параметра а рівняння зображають паралельні прямі?

  3. Через точку P(-2; 1) проведена пряма так, що її відстань від точки С(3; 1) дорівнює 4. Знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої.

  4. Побудувати трикутник, сторони якого задано рівняннями: . Знайти площу трикутника.

  5. Знайти відстань від точки М(2; 1; 1) до площини, що проходить через точку N(-1; -1; 2) і перпендикулярної площинам .

  6. Через точку N(3; 9; -4) проведені дві площини: одна з них містить вісь ОY, друга – OZ. Обчислити кут між цими площинами.

  7. Площина проходить через точки А(3; 1; 1), В(-7; ; 0) і С(-1; 1; ). Обчислити направляючі косинуси прямою, перпендикулярної до цієї площини.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Трикутник АВС створений перетином площини з координатними осями. Знайти рівняння середньої лінії трикутника, паралельної площини ХОY, і кут, який утворює вона з прямою .

  10. Знайти відстань від точки М(2; -1; 3) до прямої .

  11. При яких значеннях m і n прямі будуть паралельні?

Варіант 16

  1. Дано вершини трикутника: А(-1; 6), В(-5; -2) і С(1; 0). Показати, що цей трикутник прямокутний. Знайти центр описаного навколо нього круга і його радіус.

  2. Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму , а також координати основи цього перпендикуляра.

  3. Діагоналі ромба довжиною в 30 і 16 од. прийняті за осі координат. Обчислити відстань між паралельними сторонами цього ромба.

  4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих під кутом в 45° до прямої .

  5. На осі ОУ знайти точку, рівновіддалену від точки A (2; 0; 1) і від площини, що проходить через точку В (1; 1; 1) перпендикулярно вектору .

  6. Знайти кут між площинами  і , де  проходить через точку А ( ) перпендикулярно осі OZ , a  - через точки В(2; -1; -1), С(-1; 0; 2) і D(0; -2; 0).

  7. При яких значеннях a, b, з площини будуть взаємно перпендикулярними?

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Перевірити, чи лежать на одній прямій наступні три точки: А(3; 0; 1), В(0; 2; 4) і С(1; ; 3).

  10. При якому значенні n прямі будуть взаємно перпендикулярні? При n = -3 знайти кут між ними.

  11. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(3; -1; -4), і перетинає вісь ОY і паралельну площину .

Варіант 17

  1. Дано вершини чотирикутника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Довести, що даний чотирикутник - паралелограм.

  2. Яку умову повинні задовольняти коефіцієнти a і b , щоб прямі проходили через одну і ту ж точку?

  3. На осі абсцис знайти точку, яка є на відстані 3 одиниць від прямої .

  4. Скласти рівняння катетів прямокутного рівнобедреного трикутника, знаючи рівняння гіпотенузи і вершину прямого кута (4; -1).

  5. Дано тетраедр з вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини N, і кут між гранями КLM і LМN.

  6. З точки Р(-1; 1; 4) на площину опущений перпендикуляр, основою якого є точка Q(2; 1; 3). Скласти рівняння площини в нормальном вигляді і вказати особливості в її розташуванні.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь OZ перпендикулярно площини, що проходить через точку А(6; -1; 2) і відтинаючої на осі абсцис відрізок а = -3, а на осі аплікат - відрізок з = 4.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Дано трикутник з вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) і С(-2; 6; 8). Знайти кут між медіаною, проведеної з вершини А, і сторіной ВС.

  10. Знайти відстань між двома паралельними прямими .

  11. При якому значенні р прямі будуть паралельні?

Варіант 18

  1. Три вершини паралелограма мають наступні координати: А(-6; -4), B(-4; 8), С(-1; 5), причому А і С – протилежні вершини. Визначити координати четвертої вершини паралелограма і рівняння його діагоналей.

  2. Дано дві точки: А(-3; 1) і B(3; -7). На осі ординат знайти таку точку M, щоб прямі AM і ВМ були перпендикулярні одна одній.

  3. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від початку координат і від прямої .

  4. Знайти гострий кут між прямою і прямою, що проходить через точки А(-3; 8), В(1; ). Побудувати вказані прямі.

  5. Визначити, при яких значеннях m і n площини будуть паралельні, і знайти відстань між ними.

  6. Написати рівняння площини, паралельної осі ОУ і відтинаючої на осях ОX і OZ відрізки, що дорівнюють 2 і 3 од. Знайти кут між побудованою площиною і площиною .

  7. Перевірити, чи можна провести площину через наступні чотири точки: А(1; -1; 1), В(0; 2; 4), С(1; 3; 3) і D(4; 0; -3).

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямими, одна з яких задана рівнянням , друга проходить через точку А(1; 2; 3) і точку перетину вказаної прямої з площиною .

  10. Знайти напрям прямої, одночасно перпендикулярної до осі OZ і до прямої, що проходить через дві точки: А(1; -1; 4) і В(-3; 2; 4).

  11. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(-3; 1; 0) і через пряму .

Варіант 19

  1. Протилежні вершини ромба знаходяться в точках B(-2; 2) і D(0; -3). Скласти рівняння діагоналей цього ромба.

  2. При якому значенні m прямі проходять через одну точку? Знайти цю точку.

  3. Через точку Р (5; 0) провести дотичну до кола .

  4. Через точку А (-3; -5) проходять прямі: АС, паралельна осі ОУ, і А В, що утворюють кут з віссю ОХ. Знайти кут між вказаними прямими.

  5. Скласти рівняння площини, що проходить через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) і відтинає рівні відрізки на осях ОУ і OZ. Знайти відстань від точки С(5; -7; 8) до побудованої площини.

  6. Знайти кут між площинами  і , де  проходить через точку А(5; -1; 3) паралельно площини YOZ, a  - через точки В(0; 1; 1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).

  7. Написати рівняння площини, що проходить через точки М(1; 2; 0) і N(2; 1; 1) перпендикулярно площини . Вказати особливість в розташуванні площини.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямою, що лежить в площині XOY і що утворює з віссю ОX кут 30°, і прямою, що лежить в площиніXOZ і що утворює з віссю ОХ кут 60°.

  10. Провести через точку перетину площини з прямою пряму, що лежить в цій площині і є перпендикулярна до даної прямої.

  11. Пряма проходить через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) і паралельна прямій . Визначити абсцису точки А, ординату точки В і направляючі косинуси прямої АВ.

Варіант 20

  1. Дано вершини трикутника: А(4; -1), В( ) і С( ). Показати, що цей трикутник прямокутний і рівнобедрений.

  2. Скласти рівняння прямої, що паралельна прямій і, відтинаючої на додатній полуосі абсцис відрізок, що дорівнює 4 одиницям.

  3. На осі абсцис знайти точку, рівновіддалену від прямих .

  4. Сторони трикутника виражаються рівняннями: . Знайти внутрішні кути трикутника і його вершини.

  5. Знайти відстань від точки перетину площин до площини, що проходить через точку паралельно площині .

  6. Знайти кут між площинами  і , де  проходить через точку М(3; -1; -2) паралельно до площини XOZ , a  відсікає на осях координат відрізки a = 2, b = -4, .

  7. Чи належать одній площині чотири точки: А(3; 1; 0), В(0; 7; 2), С(-1; 0; -5) і D(4; 1; 5)?

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Трикутник створений перетином площини з координатними площинами. Знайти кут нахилу медіани трикутника, проведеної з вершини, що лежить на осі ОZ, до площини ХОY.

  10. Дано вершини трикутника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) і С(-2; 3; -5). Скласти рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону.

  11. Написати рівняння прямої, що проходить через точку М(3; 5; 1) паралельно прямій .

Варіант 21

  1. Дано чотирикутник з вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3; 3) і D(6; -1). Знайти точку перетину його діагоналей.

  2. При якому значенні параметра а прямі будуть перпендикулярними?

  3. Через початок координат і точку М (1; 3) проходять дві паралельні прямі. Знайти їх рівняння, якщо відомо, що відстань між цими прямими дорівнює .

  4. Пряма АВ відсікає на додатніх півосях OX і OY відрізки, що відповідно дорівнюють 8 і 12 од. Пряма CD проходить через точку С (-2; 0) і відсікає на осі ОУ відрізок b = 3. Знайти кут між прямими.

  5. Знайти абсцису точки А(х; 1; 8) за умови, що відстань від її до площини, що проходить через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) і D(-5; -2; -1), дорівнює 3 од.

  6. Знайти кут між площинами  і , де  проходить через точки А( ) і B( ) паралельно осі OY, а  задана рівнянням .

  7. Нормаль до площини складає з координатними осями ОХ і OZ кути  =  = 60°, а з віссю ОУ - гострий кут. Скласти рівняння площини за умови, що вона проходить через точку М (1; 1; -1). Перевірити, при якому значенні шукана площина паралельна площині .

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти відношення, в якому координатна площина ХОY ділить відрізок між точками А(-1; -4; 4) і B(1; 2; -5). Визначити точку перетину прямою АВ з площиною ХОY і кут між ними.

  10. Перевірити, що чотирикутник, вершини якого знаходяться в точках А(5; 2; 6), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) і D(3; 1; 4) є квадратом.

  11. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно прямій .

Варіант 22

  1. Дано вершини трикутника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3). Знайти рівняння медіан трикутника і їх довжини.

  2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(2;-3) паралельно прямій .

  3. По якій лінії повинна рухатися точка, початкове положення якої визначено координатами (3; 8), щоб найкоротшим шляхом дійти до прямої ? В якій точці вона досягне цієї прямої і наскільки великий буде пройдений шлях?

  4. В паралелограмі АВСD відомі рівняння сторін і точка С(7; 1). Знайти кути, що створені діагоналлю АС зі сторонами АВ і АD.

  5. Скласти рівняння площини, відтинаючої на осі ОУ відрізок b = -3 і перпендикулярної вектору . Знайти відстань від точки А(-2; -4; 3) до побудованої площини.

  6. Через точку А(-2; 4; 8) проведені дві площини: одна з них містить вісь OX , друга - OZ. Обчислити кут між цими площинами.

  7. Площина  проходить через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); площина  задана рівнянням . Визначити абсцису точки А так, щоб площини були перпендикулярними.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Вершини трикутника знаходяться в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) і С(6; 2; 0). Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину В паралельно стороні АС, і визначити внутрішні кути трикутника.

  10. Знайти відстань від точки М(1; 3; 5) до прямої, по якій перетинаються площини .

  11. Дано точки А(-3; -2; -3), В(-2; -5; -1), С(-4; ; ). При яких значеннях  і  точка С лежить на прямій АВ? Знайти направляючі косинуси прямої AВ.

Варіант 23

  1. Дано дві вершини: А(-6; -5) і В(2; 4) паралелограма АВСD і точка М(3; 1) перетину його діагоналей. Знайти координати вершин С і D і рівняння сторін паралелограма.

  2. Через точку перетину прямих провести пряму, паралельну прямій .

  3. Перевірити, що прямі дотикаються одного і того ж круга з центром в початку координат, і обчислити радіус цього круга.

  4. Дано координати вершин трикутника: А (-4; 0), В (5; -6), С (0; 6). Визначити вигляд трикутника і знайти внутрішні кути трикутника.

  5. На осі OZ Знайти точку, рівновіддалену від точки А (2; 3; 4) і від площини, що проходить через точку B (1; 5; 0) паралельно площині .

  6. Знайти кут між площиною, що проходить через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; -2) і N (2; 2; 2) і площиною УOZ .

  7. Нормаль до площини  складає з координатними осями рівні гострі кути. Скласти рівняння площини за умови, що відстань від початку координат до її дорівнює 4 од. Визначити, при якому значенні m площина  перпендикулярна площині : .

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. На осях координат відкладені від початку координат відрізки, що відповідно дорівнюють 1, 2 і 3 од.; кінці цих відрізків з’єднані прямими. Знайти точку перетину і кут між площиною отриманого трикутника і прямою, що проходить через точки А(0; 4; -2), В (3; -1; 2).

  10. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двом прямим: .

  11. При якому значенні n пряма паралельна площині ?

Варіант 24

  1. Дано вершини чотирикутника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показати, що середини сторін цього чотирикутника являются вершинами паралелограма.

  2. Знайти рівняння перпендикулярів до прямої , встановлених в точках перетину її з осями координат.

  3. Дано рівняння основ трапеції: . Знайти її висоту.

  4. Пряма задана рівнянням . Показати, що дане рівняння є нормальним і знайти гострий кут між вказаною прямою і віссю OX.

  5. Знайти відстань від точки К (3; -2; 1) до площини, що проходить через точки М (5; -4; 3) і N (-2; 1; 8) і перпендикулярної площини YOZ.

  6. Площина  проходить через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0), С (3; 0; 1). Площина  задана рівнянням . Визначити апліканту точки А за умови, що кут між площинами  і  дорівнює .

  7. Перевірити, чи мають спільну тoчку наступні чотири площини: .

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Написати рівняння прямої, що проходить через початок координат і складає рівні кути з площинами . Знайти ці кути.

  10. Довести, що трикутник АВС, де А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), рівносторонній. Скласти рівняння сторін трикутника і знайти довжину його висоти.

  11. Довести, що прямі паралельні і написати рівняння прямої, що проходить посередині між ними.

Варіант 25

  1. Дано вершини А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеції ABCD (AD // ВС ). Ивідомо, що діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Знайти координати вершин D цієї трапеції.

  2. При яких значеннях с площа фігури, що обмежена координатними осями і прямою , дорівнює 135 кв. одиницям?

  3. Дано сторони трикутника: . Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину В і через точку на стороні АС, що ділить її (рахуючи від вершини А ) у відношенні 1:3. Знайти кут між побудованою прямою і стороною АС, а також довжину висоти, опущеної з вершини В.

  4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(0; 2) і що утворює з віссю ОХ кут, вдвічі больше кута, який складає з тією ж віссю пряма .

  5. Знайти апліканту точки M(2; 3; Z ) за умови, що відстань від її до площини, що проходить через точку А (-3; 3; ) перпендикулярно вектору дорівнює 4 од.

  6. Визначити, при яких значеннях m і n площини будуть паралельні. При Знайти кут між вказаними площинами.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11), С(-11; -33; 0), і вказати особливість в її розташуванні. Знайти кути, створеними перпендикуляром, проведеним з початку координат до площини, з координатними осями.

  8. Написати канонічні рівняння прямої: .

  9. Знайти кут між прямими, одна з яких задана рівнянням друга проходить через точки М(1; 0; 3) і N(5; -2; 7).

  10. Провести через точку перетину площини з прямою пряму, що лежить в цій площині і перпендикулярно до даної прямої.

  11. Знайти периметр трикутника, вершини якого знаходяться в точках А(8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Скласти рівняння середньої лінії трикутника, паралельної стороні АС.

Варіант 26

  1. Дано вершини трикутника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показати, що цей трикутник прямокутний і скласти рівняння висоти, проведеної з вершини прямого кута.

  2. Написати рівняння прямої, паралельної прямій і відтинаючої від першого координатного кута площу, що дорівнює 5 од.кв.

  3. Основа рівнобедреного трикутника має рівняння . Одна з бокових сторін має рівняння . Знайти рівняння другої бокової сторони, якщо відомо, що вона проходить через точку M(8; 9).

  4. Сторона AB і DC паралелограма задано рівняннями і , діагоналі його перетинаються в точці M(1; 4). Знайти довжину висоти паралелограма з вершини B.

  5. Знайти відстань від точки перетину площин , , до площини, що проходить через точки M1(1; 4; 2), M2(2; 3; 1), M3(1; 1; 2).

  6. Площина α проходить через точку M1(1; 3; 1) і паралельна площині . Площина β проходить через точку M2(5; -1; 2) і містить вісь . Знайти кут між площинами α і β.

  7. Площина α проходить через точку P(3; -1; 2) і відсікає на осі відрізок вдвічі більший, ніж на осі і втричі більший, ніж на осі . Площина β задана рівнянням . При якому значенні m площини будуть перпендикулярні?

  8. Написати канонічне рівняння прямої .

  9. Знайти відстань від точки P(1; 3; 5) до прямої .

  10. Знайти периметр трикутника з вершинами M1(2; 4; 5), M2(3; 8; 13), M3(-1; 0; 5). Знайти рівняння трикутника і кут між сторонами M1M2 і M1M3.

  11. Через точку M1(2; 3; 6) провести площину перпендикулярну до прямої .

Варіант 27

  1. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, встановлених з середин сторін трикутника, вершинами якого являються точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).

  2. Написати рівняння прямої, відтинаючої на осі відрізок, величина якого дорівнює 3, і нахиленої до осі під кутом 135º.

  3. Обчислити тангенс гострого кута між прямими , .

  4. На прямій знайти таку точку, у якої абсциса в десять раз більше ординати. Знайти відстань від найденной точки до прямої .

  5. Дано тетраедр з вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Знайти кут між гранями ABC і ACD. Скласти рівняння площини, що проходить через вершину D паралельно грані ABC.

  6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M1(3; 5; 1) і M2(4; 2; 3) і паралельна вектору . Знайти відстань від точки P(5; -2; 4) до побудованої площини.

  7. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M1(1; 1; 1), M2(2; 3; 4) і перпендикулярної площини . Отримане рівняння привести до рівняння в відрізках і побудувати.

  8. Написати канонічне рівняння прямої .

  9. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку B(3; 4; -4) паралельно прямій . При якому m побудована пряма перпендикулярна прямій .

  10. Знайти проекцію точки M(-1; -1; 0) на площину .

  11. При яких значеннях A і B пряма лежить на площині . При А = 1, В = -2. Знайти кут між прямою і площиною.

Варіант 28

  1. Дано вершини трикутника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Знайти рівняння його медіан і точку їх перетину.

  2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M1(2; -5) і відсікає відрізок втроє більше, ніж на осі ординат (рахуємо кожний відрізок, що направлений від початку координат).

  3. Дано рівняння сторін трикутника (АВ), (ВС), (АС). Знайти кут між висотою, проведеної з вершини В і прямою, проведеної через точку С паралельно АВ.

  4. Дана пряма . Знайти рівняння прямої, паралельної до даної і, що знаходиться від неї на відстані чотирьох одиниць.

  5. Площина α проходить через точку Р(2; 1; 1) і відсікає на осях ох і oy відрізки, що відповідно дорівнюють 4 і -6 од.. Площина β задана рівнянням . При яких m і n площини будуть паралельні?

  6. Площина α проходить через точку M1(5; 3; 2) і паралельна двом векторам і . Площина β проходить через точку Р1(1; 1; 1), Р2(2; 3; 2) і Р3(3; 4; 2). Знайти кут між площинами α і β.

  7. Обчислити відстань між площинами і .

  8. Написати канонічне рівняння прямої .

  9. Знайти точку, симетричну точці С(-1; 2; 0), відносно прямої , , .

  10. При якому n площина буде паралельна прямій ? При знайти точку перетину і кут між прямою і площиною.

  11. Пряма α проходить через точку M1(3; 4; 7) і M2(-1; 3; 3). Пряма β проходить через точку Р(3; 2; -1) паралельно прямій . Знайти кут між прямими α і β.

Варіант 29

  1. Вершиною трикутника слугує точка M1(5; -3), а основою – відрізок, що з’єднує точки M2(0; -1) і M3(3; 3). Скласти рівняння сторін трикутника і знайти довжину висоти трикутника.

  2. Знайти кут нахилу до осі ОХ і початкову ординату прямої .

  3. Сторони трикутника задано рівняннями (АВ), (ВС), (АС). Знайти кути, які медіана ВМ утворює зі сторонами АВ і ВС.

  4. Написати рівняння прямої, паралельної прямим і і що проходить посередині між ними.

  5. Через точку перетину площин , , провести площину, паралельну площині . Отримане рівняння привести до рівняння в відрізках і побудувати.

  6. Через точку Q(-1; 3; -8) проведені дві площини, одна з яких містить вісь Oy, а друга Oz. Обчислити кут між цими площинами.

  7. Площина проходить через точки M1(0; 1; 2), M2(2; 8; 3), M3(3; -2; -1). Знайти відстань точки Р(5; -8; 6).

  8. Написати канонічне рівняння прямої .

  9. Довести, що прямі і паралельні і знайти відстань між ними.

  10. Пряма α проходить через точку А(1; -3; 6) паралельно осі Oy. Пряма β проходить через точку В(2; 1; -1) паралельно прямій . Знайти кут між прямими.

  11. Пряма проходить через точки M1(-1; 3; 0), M2(1; 7; 3). Площина задана рівнянням . При яких B і D пряма лежить в площині?

Варіант 30

  1. Дано вершини чотирикутника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Знайти точку перетину його диагоналі. Через вершину С провести пряму, паралельну діагоналям BD.

  2. Дано рівняння прямої . Написати рівняння в відрізках і нормальне рівняння.

  3. Знайти внутрішні кути трикутника, якщо дано рівняння його сторін: (АВ), (АС) і основа D(-1; 3) висоти AD.

  4. Знайти точку M симетричну точці N(7; -4) відносно прямої, що проходить через точки А(3; -2) і В(1; 4).

  5. Площина α проходить через точку M1(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M3(-1; 2; 12). Площина β задана рівнянням . Показати, що площини паралельні, і з’ясувати, яка з них знаходиться ближче до точки Р(0; -7; 3).

  6. Площина α проходить через точку M1(2; -4; 3) і відсікає на осі Oy відрізок вдвічі менший, ніж на осі ox і втричі більший, ніж на осі oz. Площина β задана рівнянням . При яких m і n площини паралельні? При m=-1, n=2 Знайти кут між ними.

  7. Знайти таке число а, щоб чотири площини , , , проходили через одну точку.

  8. Написати канонічне рівняння прямої .

  9. При яких і n пряма і площина будуть перпендикулярні? При = 5, n = 4 Знайти кут між ними.

  10. Пряма α проходить через точку M1(-1; 2; 4), перпендикулярно до площини . Пряма β проходить через точки M1(2; 3; -5) і M2(-4; 0; 3). Знайти кут між прямими α і β.

  11. Знайти точку M симетричну точці Р(-1; 2; 4) відносно площини .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности