2.2. Передаточные функции

Для определённости рассмотрим механизм, у которого W=1.

Введём в рассмотрение первую и вторую передаточные функции механизма.

.

Если - угловая координата звена i, то первую передаточную функцию называют также аналогом угловой скорости, а вторую — аналогом углового ускорения звена i.

Пример. Для шарнирного четырёхзвенника (рис. 2.2 (а));

,

где и - угловая скорость и угловое ускорение звена 1.

Функции положения есть геометрические характеристики механизма, не зависящие от времени.

2.3. Сборки механизма

При любом положении звена 1 подвижные звенья 2, 3, …, n рычажного механизма можно, как правило, собрать несколькими способами. Например, на рис. 2.3 представлены две возможные сборки шарнирного четырехзвенника. Обычно при эксплуатации механизмы работают в одной из возможных сборок во всём диапазоне движений входного звена, не переходя в другую сборку.

Рис. 2.3. Возможные монтажные схемы (сборки) шарнирного четырёхзвенника.

2.4. Кинематический анализ механизмов с использованием аналитических методов.

Аналитическое решение задачи о положениях звеньев механизма может быть реализовано либо методом преобразования координат (Ю.Ф. Морошкина), либо методом замкнутого векторного контура (В.А. Зиновьева).

Метод преобразования координат.

Проиллюстрируем на примере определения положения звеньев плоского механизма манипулятора, полученного из незамкнутой кинематической цепи (рис. 2.4).

Попутно заметим, что этот метод позволяет для любых механизмов сравнительно просто автоматизировать процесс вычислений средствами ЭВМ при использовании стандартных программ преобразования координат звеньев, образующих наиболее распространённые кинематические пары.

Число степеней подвижности манипулятора W=3n-2p₅-p₄=3·3-2·3=3.

Известными являются длины звеньев l₁ и l₂ и координаты произвольно выбранной точки C₃(x_c3,y_c3) в подвижной системе координат x₃By₃, связанной со звеном 3, а также углы , где t—время. В индексах первым указан номер звена, к которому относится угол поворота, вторым — номер звена, от которого угол поворота отсчитывается.

Требуется определить траекторию точки С относительно неподвижной системы координат x₀Oy₀ (стойки).

Если ввести в рассмотрение точки С₀, С₁, С₂, которые в данный момент времени совпадают с точкой С₃, но принадлежат соответственно звеньям О (стойка), 1 и 2, то получим:

Рис. 2.4. Схема системы координат для определения положения точки С.

Решение системы шести линейных уравнений с шестью неизвестными позволяет найти координаты точки С₃ в неподвижной системе координат  .

Метод замкнутого векторного контура проиллюстрируем на примере определения кинематических характеристик механизма шарнирного четырёхзвенника (рис. 2.5).

Представим звенья кинематической цепи в виде векторов. Выбор направлений векторов может быть произвольным, однако начало вектора целесообразно поместить в неподвижной точке. В нашем примере векторы    и   выходят из неподвижных точек. Направления векторов    и   могут быть заданы произвольно.

Рис. 2.5. Векторный многоугольник четырёхзвенной кинематической цепи.

Условие замкнутости кинематической цепи можно записать либо в векторной форме, либо в виде уравнений проекций. В рассматриваемом случае векторное уравнение имеет вид

. (2.1)

Этому уравнению соответствуют два уравнения проекций на оси координат

    (2.2)

Таким образом, система уравнений (2.2) связывает три переменные величины , вследствие чего рассматриваемая кинематическая цепь имеет одну степень свободы и, следовательно, одну обобщённую координату.

Решив задачу о положениях механизма, перейдём к задачам об определении скоростей и ускорений. Для этого продифференцируем уравнение (2.2) по

    (1.3)

Так как - аналог угловой скорости звена 2 и - аналог угловой скорости звена 3, то

    (1.4)

U₂₁, U₃₁ являются передаточными отношениями

.

Из углов и первого уравнения системы (1.4) вычитаем общий угол ,что соответствует повороту осей координат xOy на общий угол

отсюда       

Аналогично поворотом осей на угол получим из второго уравнения системы (1.4)

   

             

Для определения ускорений продифференцируем уравнения (1.4) по

    (1.5)

Здесь - аналоги угловых ускорений.

,

.

Здесь  и  - соответственно заданные угловая скорость и угловое ускорение звена 1.