Лабораторная работа по методу трех восьмых / Lab3-8
.doc-
Задание кафедры
Вычислить определенный интеграл с помощью метода 3/8 с точностью 0,0001.
Вариант 17:
dx.
-
Краткие теоретические сведения
правило трех восьмых
,
где
.
(*)
Остаточный член
имеет вид
.
Заметим, что в правиле трех восьмых число узлов обязательно равно 3m + 1, то есть n = 3m.
Если функция y = f(x) задана таблично и ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстроколеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:
,
где под
подразумевается среднее арифметическое
значение разностей соответствующего
порядка.
-
Результат выполнения работы
Составим таблицу значений функции на заданном интервале, поделенном на 9, 18, 36.
|
|
n=9 |
n=18 |
n=36 |
|
1 |
0,253523683 |
0,147844453 |
0,080160426 |
|
2 |
0,378526359 |
0,253523683 |
0,147844453 |
|
3 |
0,423029718 |
0,328170387 |
0,205119013 |
|
4 |
0,41097642 |
0,378526359 |
0,253523683 |
|
5 |
0,358721182 |
0,409066542 |
0,29423432 |
|
6 |
0,279869046 |
0,423029718 |
0,328170387 |
|
7 |
0,186669057 |
0,422955273 |
0,3560673 |
|
8 |
0,090182657 |
0,41097642 |
0,378526359 |
|
9 |
2,95816E-17 |
0,38898453 |
0,39604991 |
|
10 |
|
0,358721182 |
0,409066542 |
|
11 |
|
0,321827732 |
0,417949411 |
|
12 |
|
0,279869046 |
0,423029718 |
|
13 |
|
0,234341177 |
0,424606731 |
|
14 |
|
0,186669057 |
0,422955273 |
|
15 |
|
0,138198133 |
0,418331359 |
|
16 |
|
0,090182657 |
0,41097642 |
|
17 |
|
0,043772514 |
0,401120483 |
|
18 |
|
2,95816E-17 |
0,38898453 |
|
19 |
|
|
0,374782229 |
|
20 |
|
|
0,358721182 |
|
21 |
|
|
0,341003773 |
|
22 |
|
|
0,321827732 |
|
23 |
|
|
0,301386437 |
|
24 |
|
|
0,279869046 |
|
25 |
|
|
0,257460458 |
|
26 |
|
|
0,234341177 |
|
27 |
|
|
0,210687069 |
|
28 |
|
|
0,186669057 |
|
29 |
|
|
0,162452766 |
|
30 |
|
|
0,138198133 |
|
31 |
|
|
0,114058993 |
|
32 |
|
|
0,090182657 |
|
33 |
|
|
0,066709494 |
|
34 |
|
|
0,043772514 |
|
35 |
|
|
0,021496974 |
|
36 |
|
|
2,95816E-17 |
В точках 0 и π значение функции равно 0.
|
|
h |
f(0)+f(n) |
f(1)+f(2)+f(4)+… |
f(3)+f(6)+… |
I |
|
n=9 |
0,34906585 |
0 |
1,678599357 |
0,702898764 |
0,843202892 |
|
n=18 |
0,174532925 |
0 |
3,258407049 |
1,558251814 |
0,843761413 |
|
n=36 |
0,087266463 |
0 |
6,464183577 |
3,196152431 |
0,843807426 |
h – шаг интерполирования, равен (π-0)/n;
4й столбей содержит сумму значений функции от аргумента, не кратного 3м;
5й столбей – сумму значений функции от аргумента, кратного 3м;
I – результат приближенного вычисления интеграла, высчитанный по (*).
Разница между 2м и 1м результатами составляет 0,000558521, а между 3м и 2м – 4,60128E-05, что меньше заданной точности 0,0001.
Высчитаем остаточный член с помощью конечных разностей:
|
Остаточный член |
|
|
разности |
в степени 4 |
|
0,067684 |
2,09867E-05 |
|
0,057275 |
1,07609E-05 |
|
0,048405 |
5,48971E-06 |
|
0,040711 |
2,74683E-06 |
|
0,033936 |
1,32631E-06 |
|
0,027897 |
6,05654E-07 |
|
0,022459 |
2,54429E-07 |
|
0,017524 |
9,42949E-08 |
|
0,013017 |
2,87074E-08 |
|
0,008883 |
6,22606E-09 |
|
0,00508 |
6,66131E-10 |
|
0,001577 |
6,18501E-12 |
|
-0,00165 |
7,43823E-12 |
|
-0,00462 |
4,5713E-10 |
|
-0,00735 |
2,92628E-09 |
|
-0,00986 |
9,43608E-09 |
|
-0,01214 |
2,16918E-08 |
|
-0,0142 |
4,0685E-08 |
|
-0,01606 |
6,65419E-08 |
|
-0,01772 |
9,85373E-08 |
|
-0,01918 |
1,35218E-07 |
|
-0,02044 |
1,74596E-07 |
|
-0,02152 |
2,14367E-07 |
|
-0,02241 |
2,52149E-07 |
|
-0,02312 |
2,85691E-07 |
|
-0,02365 |
3,13059E-07 |
|
-0,02402 |
3,32773E-07 |
|
-0,02422 |
3,43899E-07 |
|
-0,02425 |
3,46082E-07 |
|
-0,02414 |
3,39537E-07 |
|
-0,02388 |
3,24991E-07 |
|
-0,02347 |
3,03589E-07 |
|
-0,02294 |
2,76787E-07 |
|
-0,02228 |
2,46214E-07 |
|
-0,0215 |
2,13555E-07 |
Он равен 1,29564E-06, что также меньше заданной точности.
Теперь согласно процесса Эйткена сформируем ответ.
,
I=0,84381.
Ответ: 0,8438±0,0001.