1.3.7. Формулы Байеса

Теорема. Пусть с опытом связаны гипотезы , при проведении опыта произошло событие , . До опыта были известны вероятности гипотез и соответствующие условные вероятности . В этом случае условная вероятность гипотезы при условии, что событие произошло, вычисляется по формуле:

.

Доказательство. и .

Так как , то .

Откуда

.

Замечание. Формулы Байеса предназначены для вычисления после проведения опыта вероятностей гипотез при условии, что событие уже произошло.

1.4. Решение типовых задач

Пример 1. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что, среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение. Событие – среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

Воспользуемся формулой .

Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. . Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут составлять сочетания, число которых равно . Тогда искомая вероятность будет равна

Пример 2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две ока­жутся акциями банкротов?

Решение. Событие – среди купленных акций две ока­жутся акциями банкротов.

Воспользуемся формулой .

Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20 по 6, т.е. . Число благоприятствующих исходов определяется как произве­дение , где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . Тогда искомая вероятность будет равна

, т.е. .

Пример 3. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три – по математическому анализу и четыре – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Ка­кова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероят­ностей или по линейной алгебре?

Решение. Событие – студент взял книгу по теории вероятностей,

событие – студент взял книгу по линейной алгебре.

Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей и по линейной алгебре соответственно таковы:

, .

События и несовместны. Поэтому искомая вероятность находится как сумма вероятностей:

.

Пример 4. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту из­делий равна 0,9.

Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы? Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий только одно стандартное?

Решение: а) учитывая то, что события (первое изделие стандартное) и (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу

, т.е. ;

б) пусть – событие, состоящее в том, что только первое изделие стандарт­ное; – только второе изделие стандартное. Событие можно рассматривать как произведение двух событий , т.е. появилось первое событие и не появилось второе.

Аналогично . События и несовместные, поэтому

.

Если обозначить вероятность появления стандартного изделия через , а вероятность противоположного события через , то получим

.

В данном случае

.

Пример 5. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобра­ны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение. Пусть – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката; – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.

Вероятность события

.

Рассмотрим событие при условии, что событие произошло. Найдем условную вероятность

.

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения зависимых двух событий

.

Пример 6. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безот­казной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на пер­вом заводе, на втором заводе?

Решение. Обозначим через , ,  события установки на автомашину дви­гателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

; ; ;

а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:

б) если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что оно изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:

;

.