Вариант 30

1. Агрегат состоит из трех параллельных цепей, каждая из которых включает в себя 4 последовательно соединенных элемента. Две цепи являются резервными. Надежность элементов в основной цепи 0,97, в резервных 0,92. Определить надежность агрегата.

2. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при од­ном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что по мишени будет произведено не менее трех выстрелов, если после первого же попадания стрельба прекращается.

3. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 2 черных шара. Из первой урны наудачу извлекают три шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

4. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.

5. В коробке находится шесть одинаковых по форме и близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извле­каются из коробки. Какова вероятность того, что сверла из­влекутся в порядке возрастания их диаметра?

6. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 –только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха – то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

7. В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Тема 2. Повторные независимые испытания

2.1. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Предположим, что производится независимых испытаний, каждое из которых может иметь два исхода: «успех» с вероятностью и «неудачу» с вероятностью . Такая схема называется схемой Бернулли. Термины «успех» и «неудача» употребляются лишь в силу традиции. Важно лишь наличие двух различных исходов испытания.

Теорема. Пусть в опыте производится независимых испытаний в одних и тех же условиях, причем некоторое событие в каждом опыте появляется с одной и той же вероятностью . Тогда вероятность события , состоящего в том, что в опытах событие произойдет ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Доказательство. Данная формула доказывается следующим образом. Рассмотрим события и , которые заключаются в том, что событие соответственно произойдет или не произойдет в -м испытании, . Тогда очевидно:

,

где . Все события , , несовместны по построению. Следовательно, получаем

Следствия:

1) если то используют формулу Бернулли;

2) .

2.2. Предельное поведение вероятностей при больших

Несмотря на элементарность формулы = , при больших непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, в особенности если требуется не просто вычислить при конкретных значениях и , а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое применение нашли приближенные формулы, которые и будут приведены далее.