1.3.5. Условная вероятность. Зависимые и независимые события

Определение. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

По определению .

Рассмотрим формулу для опыта, сводящегося к схеме случаев:

Пусть событиям , и благоприятствуют случаев соответственно из всех возможных и равновозможных случаев. Допустим, что событие уже произошло. Это значит, что из всех возможных случаев реально могут появиться только , причем из них только случаев благоприятствуют событию . Применяя классическое определение вероятности, получим

.

Теорема. .

Доказательство. Так как 

, то .

Учитывая, что (свойство умножения событий), получим .

Следствие. .

Определение. События и называются независимыми, если , то есть,  – условная вероятность события равна безусловной вероятности.

Определение. Формула называется правилом умножения вероятностей.

Теорема. В определении условной вероятности мы требовали, чтобы , но в некоторых случаях такое ограничение представляется ненужным.

Пусть , тогда равенство выполняется автоматически.

Доказательство. Представим событие в виде , тогда . Так как , то . Но так как и , то и .

Так как , то . Это значит, что если не зависит от , то и не зависит от .

Теорема. Если события и независимы, то независимы также и события и .

Доказательство. Так как и независимы, то , тогда и из того, что , следует, что , , а это значит, что и независимы.

Теорема. Если и независимы, то и независимы и .

Доказать самостоятельно.

Определение. События называются независимыми (в совокупности), если вероятность появления любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из этой же совокупности.

Определение. Если любые два события из независимы, то называются попарно независимыми.

Теорема. Если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Если события независимы, то , и так далее. Тогда .

Последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости событий.

Замечание. На практике правило умножения вероятностей применяется вместе с правилом сложения вероятностей.

1.3.6. Формула полной вероятности

Определение. Предположим, что событие в опыте может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Условимся называть эти события (по отношению к ) гипотезами.

Теорема. Пусть с опытом связаны гипотезы , тогда вероятность события равна сумме парных произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события , вычисленные при условии, что гипотеза происходит:

.

Доказательство. По условию событие может произойти только вместе с одной из гипотез: , так как попарно несовместны, то и события попарно несовместны, следовательно, по аксиоме 3 из определения вероятности события и по теореме о вероятности произведения событий получаем

.

Данная формула используется в опытах, не сводящихся к схеме случаев.