1.3.2. Аксиоматическое определение вероятности события
Определение (по Колмогорову). Вероятностью события называется функция , удовлетворяющая следующим аксиомам теории вероятностей:
Аксиома
1 (неотрицательность вероятности).
Каждому событию
ставится в соответствие неотрицательное
число
,
т.е. для любого
Аксиома
2 (нормировка вероятности). Вероятность
достоверного события равна единице,
т.е.
Аксиома
3 (конечная аддитивность вероятности).
Для любых несовместных событий
и
(
)
справедливо равенство
.
Аксиома
4 (непрерывность вероятности). Для любой
убывающей последовательности
событий из
такой, что
,
имеет место равенство
.
Замечание 7. Аксиомы 1–3 тесно связаны со свойствами частоты из замечания 3. Эта связь обосновывает также и частотное определение вероятности.
Определение.
Тройка (
),
где
– произвольное множество,
– совокупность подмножеств множества
,
на котором определены операции +,
,
,
,
\,
вероятность, удовлетворяющая перечисленным
выше условиям, называется вероятностным
пространством.
1.3.3. Простейшие свойства вероятности
1.
.
Доказательство.
Пространство элементарных событий
можно представить в виде
,
–
подмножество,
–
дополнение к
до
.
Они несовместны.
Следовательно,
.
Так как
и
неотрицательны, то
.
2.
.
Доказательство.
Так как 
,
,
то
.
Следовательно,
.
3.
Если
,
то
(монотонность вероятности). Доказательство.
Событие
представим в виде
. По
построению
,
т.е. события
и
не совместны, тогда
.
4. 
для любых
,
.
Доказательство. Событие
представим в виде
,
из аксиомы 3 и
получаем, что
.
Так
как
,
то
и тогда
.
5.
,
так как
.
6.
Определение. События
в опыте
образуют полную группу событий, если
они попарно несовместны и в результате
опыта
произойдет одно и только одно из событий
,
то есть
.
Теорема.
Если
,
образуют полную группу событий, то
Доказательство. Так как и события образуют полную группу событий, то
.
7.
Теорема.
Доказательство.
По определению
,
то есть
и
– полная группа событий. Следовательно,
и
,
тогда по аксиоме 3
,
откуда
.
8.
Определение. Если опыт
имеет конечное число возможных исходов
,
где
элементарные события, образующие полную
группу попарно несовместных событий и
появление которых равновероятно, то
есть
,
то такие события
называют случайными и говорят, что опыт
сводится к схеме случаев.
Теорема.
Если опыт
сводится к схеме случаев, то
.
Доказательство.
Элементарные события
попарно несовместны, тогда
.
Отсюда
следует, что
.
9.
Определение. Если в опыте
произвольное событие
можно представить в виде суммы
несовместных случаев, то есть
,
при
,
то слагаемые
называют
благоприятствующими событию
случаями.
Теорема.
Если событие
представимо в виде суммы
благоприятствующих случаев из
возможных,
то вероятность такого события равна
:
.
Определение.
Формулу
называют классической формулой вычисления
вероятности.
1.3.4. «Геометрические» вероятности
Рассмотрим «геометрические» вероятности: это пример опыта с непрерывным пространством элементарных событий. В случае опыта с равновероятными исходами вероятность определяется как «доля» тех исходов, которые приводят к наступлению события . Аналогично считают , если имеется бесконечное число равновероятных исходов:
,
где
–
мера тех исходов, которые приводят к
наступлению
;
–
мера
бесконечного числа исходов.
Для отрезка – это длина отрезка, для плоскости – площадь фигуры, для тела – объем тела.