5.2. Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2,... с ве­роятностями

где Ряд распределения закона Пуассона имеет вид

	0	1	2	…		…
				…		…

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено – сумма ряда

Учтено, что в скобках записано разложение в ряд функции при .

Теорема. Математиче­ское ожидание и дисперсия случайной величины, распре­деленной по закону Пуассо­на, совпадают и равны па­раметру этого закона, т.е. , .

Доказательство. Найдем математическое ожидание случайной величины :

Дисперсию случайной величины найдем по формуле . Вначале получим формулу для :

Теперь

Можно доказать, что , .

При достаточно больших (вообще при ) и малых значениях ( ) при условии, что произведение – посто­янная величина ( ), закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона, так как в этом случае функция вероятностей Пуассона хорошо аппроксимирует функцию вероятностей, определяемую по формуле Бернулли.

Так как при этом вероятность события в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Наряду с «предельным» случаем биномиального распределе­ния закон Пуассона может возникнуть и в ряде других ситуаций. Например, для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение.

По закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

Отметим еще, что если случайная величина представляет со­бой сумму двух независимых случайных величин, распределен­ных каждая по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

5.3. Геометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения с ве­роятностями

где , ,

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид.

	1	2	3	…		…
	p	pq		…		…

Нетрудно видеть, что вероятности образуют геометриче­скую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда название «геометрическое распределение»).

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

Так как есть сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при .

Замечание. Случайная величина , имеющая геометрическое распределе­ние, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испы­тании до первого положительного исхода.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины , имеющей геометрическое распределение с параметром p,

,

а ее дисперсия , где .