1.2.1. Пространство элементарных событий

Определение. Возможные исходы опыта называются элементарными событиями, если они являются взаимно исключающими, и в результате опыта одно из них происходит обязательно.

Определение. Совокупность всех элементарных событий в опыте называется пространством элементарных событий.

Определение. Пусть фиксирована некоторая непустая совокупность подмножеств множества . Эти подмножества назовем событиями, если они удовлетворяют следующим требованиям:

– если подмножества суть события, то их объединение тоже является событием: ,

– если подмножество является событием, то его дополнение (до ) тоже является событием: .

Из этих требований следует, что  – событие.

Определение. Событие называется невозможным в опыте , если при повторении опыта оно никогда не происходит. Ему соответствует пустое подмножество в , которое обозначается .

Определение. Событие называется достоверным в опыте , если при повторении опыта оно происходит всегда. Ему соответствует само пространство .

Определение. Говорят, что в опыте событие влечет за собой появление события , если из осуществления события следует наступление события .

1.2.2. Алгебра событий

Определение. События и называются равными: , если , .

Определение. Суммой событий и называется событие , состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий.

Определение. Произведением событий и называется событие , состоящее в одновременном появлении этих событий.

Определение. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие произойдет, а событие нет.

Определение. Событие называется противоположным событию , если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда не наступает.

, дополняет до и .

Графически соотношения демонстрируют диаграммы Венна:

Определение. События и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в опыте, то есть .

Замечание. Все законы алгебры высказываний будут верны и для событий, например: , , .

1.3. Вероятность события

1.3.1. Частотное определение вероятности и его свойства

Определение. Пусть при n-кратном повторении опыта событие произошло раз. Частотой события называется отношение

.

Замечание 1. Частота является случайной, т.е. предсказать точное ее значение до проведения серии из опытов нельзя. Однако природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частоты, т.е. при увеличении числа n опытов значение частоты практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа , соответствующего данному конкретному событию в опыте . Это число называется вероятностью события в опыте .

Замечание 2. Введенное определение указывает на то, что вероятность характеризует частоту появления события при многократном повторении опыта .

Замечание 3. Частота события обладает следующими свойствами:

1. , так как , ;

2. , так как ;

3. если события и несовместны и при повторении опыта раз событие появилось раз, а событие  – раз, то

Замечание 4. Частотное определение вероятности неудобно по двум причинам:

– стремление частоты события к вероятности происходит не в общепринятом смысле, а в вероятностном;

– вычисление предела , к которому стремится частота, может быть невозможным вследствие значительных трудностей при проведении большого числа опытов.

Замечание 5. Кроме частотного определения вероятности используют также аксиоматическое. С этой целью введем понятие σ-алгебры.

Определение. Класс подмножеств пространства , являющийся алгеброй и включающий в себя результаты сложения и умножения счетного числа своих элементов, называется σ-алгеброй.

Элементы σ-алгебры (т.е. подмножества ) называются также событиями.