Тема 5. Законы распределения дискретных случайных величин

Рассмотрим важнейшие для приложений дискретные распределения. Напомним, что случайная величина, имеющая дискретный спектр, называется дискретной.

5.1. Биномиальный закон распределения

Определение. Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,..., ,..., с вероятностями

=

где , , .

Как видим, вероятности находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события в независимых испытаниях, в каж­дом из которых оно может произойти с одной и той же вероятно­стью .

Ряд распределения биномиального закона имеет вид.

	0	1	2	…..		…..
				…..		…..

Очевидно, что определение биномиального закона корректно? основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

Отсюда и название закона – биномиальный.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины , распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле , а ее дисперсия – по формуле .

Доказательство. Случайную величину – число наступлений события A в n независимых испытаниях – можно представить в виде сум­мы независимых случайных величин , ка­ждая из которых имеет один и тот же закон распределения, т. е.

где

Случайная величина выражает число наступлений собы­тия в -м испытании ( ), т.е. при наступлении собы­тия с вероятностью , при ненаступлении с ве­роятностью q. Случайную величину называют альтернативной случайной величиной (или распределенной по закону Бернулли).

Найдем числовые характеристики альтернативной случайной величины :

так как .

Теперь математическое ожидание и дисперсия рассматриваемой случайной величины :

(при нахождении дисперсии суммы случайных величин учтена их независимость).

Можно доказать, что , .

Следствие. Математическое ожидание частоты — события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может на­ступить с одной и той же вероятностью , равно , т.е.

а ее дисперсия

Частота события есть , т. е. = , где — случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

Поэтому

Замечание. Теперь становится понятным смысл ар­гументов в функциях и , содержащихся в локальной и интегральной формулах Муавра–Лапласа. Так, в функции аргумент есть отклонение числа появления события в независимых испытаниях, распределенного по биномиальному закону, от его среднего значения , вы­раженное в стандартных отклонениях . Аргумент в функции , рассматриваемой вследствие интегральной теоремы Муавра—Лапласа, есть откло­нение частоты события в независимых испытаниях от его вероятности в отдельном испытании, выраженное в стандартных отклонениях

Наивероятнейшее число наступле­ний события в повторных независимых испытаниях, в каж­дом из которых оно может наступить с одной и той же вероят­ностью , удовлетворяет неравенству . Это означает, что мо­да случайной величины, распределенной по биномиальному зако­ну, находится из того же неравенства

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продук­ции, при описании функционирования систем массового обслу­живания, в теории стрельбы и в других областях.