Свойства функции плотности
1.
для всех
.
Неотрицательность плотности вытекает непосредственно из определения.
2.
.
Доказательство. Действительно,
.
3.
(условие нормировки).
Доказательство.
Поскольку
,
то по свойству
получаем
.
4.
Пусть случайная величина
,
где
–
строго возрастающая функция скалярного
аргумента
,
а
–
непрерывная случайная величина с
плотностью
.
Тогда плотность распределения случайной
величины
имеет вид
,
где
–
обратная по отношению к
функция. Действительно, согласно
определению функции распределения
Наконец, из замечания следует
.
Пусть теперь , где – строго убывающая по , тогда
Окончательно для строго монотонной функции получаем
.
3.4. Операции над случайными величинами
Вначале введем понятие независимости случайных величин.
Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Так,
если дискретная случайная величина
может принимать значения
(
),
а случайная величина
–
значения
,
то независимость дискретных случайных
величин
и
означает независимость событий
и
при любых
и
.
В противном случае случайные величины
называются зависимыми.
Например,
если имеются билеты двух различных
денежных лотерей, то случайные величины
и
,
выражающие соответственно выигрыш по
каждому билету (в денежных единицах),
будут независимыми, так как при любом
выигрыше по билету одной лотереи
(например при
)
закон распределения выигрыша по другому
билету
не изменится. Если же случайные величины
и
выражают выигрыш по билетам одной
денежной лотереи, то в этом случае
и
являются зависимыми, ибо любой выигрыш
по одному билету
приводит к изменению вероятностей
выигрыша по другому билету
,
т.е. к изменению закона распределения
.
Дадим определение операциям над дискретными случайными величинами:
– произведением
случайной величины
на постоянную величину
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с теми же вероятностями
;
– m-й
степенью случайной величины
,
т.е.
,
называется случайная величина, которая
принимает значения
с теми же вероятностями
;
– суммой
(разностью или произведением) случайных
величин
и
называется случайная величина, которая
принимает все возможные значения вида
,
(
или
),
где
и
,
с вероятностями
того, что случайная величина
примет значение
,
а
–
значение
:
.
Если
случайные величины
и
независимы,
т.е. независимы любые события
и
,
то по теореме умножения вероятностей
для независимых событий
.
Замечание. Приведенные
выше определения операций над дискретными
случайными величинами нуждаются в
уточнении, так как в ряде случаев одни
и те же значения
,
,
могут получаться разными способами при
различных значениях
,
,
вообще говоря, с различными вероятностями
,
которые складываются.
3.5. Числовые характеристики случайных величин
Определение.
Неслучайная постоянная величина
называется математическим ожиданием
непрерывной случайной величины
.
Величину
иногда называют средним значением
случайной величины
.
Размерность
совпадает с размерностью случайной
величины
.
Замечание 1. Для дискретной случайной величины под математическим ожиданием понимается величина
,
где
.
Замечание
2. Для случайной величины
математическое ожидание вычисляется
следующим образом:
,
если интеграл
сходится. Доказательство этого факта
основано на сведениях из математического
анализа.
Определение.
Дисперсией
случайной величины
называется
математическое ожидание квадрата её
отклонения от математического ожидания:
.
Замечание.
Дисперсия
характеризует степень рассеивания
реализаций случайной величины
около ее математического ожидания.
Размерность дисперсии совпадает с
размерностью случайной величины
.
Определение.
Среднеквадратическим отклонением
случайной величины
называют величину
.
Определение.
Случайная величина
называется центрированной, а
– нормированной.