Свойства функции распределения

1. определена для всех , что следует из определения ;

2. для всех , поскольку , а ;

3. Функция распределения является неубывающей и для

.

Доказательство. Рассмотрим события:

Найдем вероятности этих событий:

Поскольку , т.е. и , то или . Отсюда .

Так как , то , следовательно, – неубывающая.

3. Если  – функция распределения, то . Доказательство. Так как – монотонна и ограничена, то можно записать:

а) . Но т.к. , то и тогда ;

б) . Но т.к. , то и тогда .

4. .

Событие является противоположным событию и, следовательно, .

5. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0.

Доказательство. Рассмотрим .

, а , т.к. – непрерывна. Итак, получили, что .

Тогда равенство можно преобразовать к следующему виду , т.к. и .

Следствие.

.

6.  – непрерывная слева функция, т.е.:

, где .

Для доказательства свойства 6 рассмотрим бесконечно убывающую монотонную положительную последовательность чисел и обозначим через событие . Очевидно, и пересечение всех событий является событием невозможным (не существует такого , что для любых ), .

По аксиоме непрерывности , но согласно свойству .

Таким образом, получаем

,

откуда .

Рассмотрим функцию распределения для дискретной слу­чайной величины . Если , то , так как в этом случае событие является невозможным. Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому . Если , то событие рав­но сумме событий и и

и т.д.

Если , то . Если , то .

Таким образом, функция распределения дискретной слу­чайной величины равна

,

где и суммирование производится по тем , для которых .

Функция распределения дискретной случайной величины постоянна на . В точках функция распределения имеет скач­ки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Пример. Найдем функцию распределения случайной величины, равной числу выпадений «герба» при бросании двух монет.

Решение. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2 с вероятно­стями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Функция распределения при равна нулю. В точке она имеет скачок, равный 1/4, в точке – скачок, равный 1/2, и в точке – скачок, равный 1/4. Между этими точками функция распределения постоянна. При функция . Таким образом,

График функции изображен на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Если по оси абсцисс отложить а по оси ординат – соответствующие вероятности и соединить соседние точки отрезками, то получим многоугольник распределения случайной величины X. Многоугольник распределения – это графическое изображение ряда распределения дискретной случайной величины. На рисунке 3.3 приведен многоугольник распределения случайной величины, равной числу выпадений «герба» при подбрасывании двух монет.

Рис. 3.3

3.3. Плотность распределения случайной величины и ее свойства

Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция , для которой при любом выполняется равенство

.

Определение. Случайная величина, у которой существует плотность вероятностей, называется абсолютно непрерывной.

Кроме абсолютно непрерывных случайных величин, существуют непрерывные случайные величины, называемые сингулярными, которые не имеют плотности вероятности. В дальнейшем такие случайные величины не рассматриваются, и под непрерывными случайными величинами понимаются абсолютно непрерывные случайные величины.

Замечание 1. Плотность вероятности является разновидностью закона распределения для непрерывных случайных величин.

Замечание 2. Рассмотрим непрерывную случайную величину с функцией распределения , относительно которой будем предполагать, что она непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в интервал :

.

Определим вероятность, которая приходится на единицу длины рассматриваемого интервала:

.

Перейдем к пределу при :

.

Таким образом, аналогична плотности массы в механике, где роль вероятности играет масса. Далее, если , то из формулы для производной получаем, что при . Следовательно, для непрерывной случайной величины , т.е. вероятность того, что непрерывная случайная величина примет в опыте некоторое наперед заданное значение , равна нулю.

Замечание 3. Для характеристики дискретной случайной величины неприменима, т.к. для существования требуется непрерывность и дифференцируемость функции , а для дискретной случайной величины эти требования не выполняются.

График называется кривой распределения.