Тема 3. Случайные величины

3.1. Основные понятия

Определение. Случайной величиной называется функция элементарного события с областью определения и областью значений , такая что при любом действительном событие принадлежит - алгебре . Значения функции называются реализациями случайной величины .

Замечание. Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами , их возможные значения (реализации) – соответствующими строчными буквами .

Определение. Совокупность всех реализаций случайной величины называется спектром.

Определение. Спектр называется дискретным, если все его элементы образуют конечное или счетное множество, и непрерывным в противном случае.

Определение. Случайная величина, имеющая дискретный спектр, называется дискретной.

Дискретные случайные величины принимают конечное или счетное множества значений. Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями .

Пример. Если опыт состоит в бросании наугад двух монет, то число выпавших «орлов» есть случайная величина с дискретным спектром , а расстояние между центрами упавших монет является случайной величиной с непрерывным спектром .

Определение. Законом распределения случайной величины называется любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Закон распределения случайной величины можно задать табличным, графическим и аналитическим способом.

Закон распределения дискретной случайной величины определен, если известны все и вероятности такие, что . Если составить таблицу, в верхней строке которой поместить значения дискретной случайной величины, а в нижней – соответствующие вероятности, то получим ряд распределения случайной величины. Сумма вероятностей, записанных во второй строке таблицы, должна быть равна 1, так как события несовместны, и образует полную группу.

Ряд распределения можно задать графически (рис.3.1), если по оси отложить значения случайной величины, а по оси – вероятности этих значений.

Рис. 3.1

Получили ломаную, которая называется многоугольником распределения вероятностей. Сумма ординат многоугольника равна единице. Это свойство многоугольника распределения является определяющим.

Если в прямоугольной системе координат дана некоторая ломаная, удовлетворяющая определению функции и обладающая указанным выше свойством, то такая ломаная задает закон распределения некоторой случайной величины.

3.2. Функция распределения вероятностей и её свойства

Определение. Рассмотрим вероятность события для различных . Величина как функция называется функцией распределения случайной величины .

Замечание. Данная вероятность определена, поскольку рассматриваемые события принадлежат классу . Будем обозначать , . При этом .

Замечание. Функция распределения является разновидностью закона распределения для случайных величин всех типов и однозначно определяет случайную величину. Поэтому далее вместо фразы «случайная величина, имеющая функцию распределения » часто используется термин «распределение».

Определение. Случайная величина с непрерывной функцией распределения называется непрерывной.