2.3. Решение типовых задач

Пример 1. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Решение. В данном случае Согласно неравенству или , т.е. необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз (включительно).

Пример 2. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности воз­можного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

Пример 3. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероят­ность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по пер­воначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

Решение. Вероятность того, что пакет акций не будет продан по первоначально заявленной цене, равна =1—0,2=0,8.

1) по формуле Бернулли найдем вероятность того, что не будут проданы 5 пакетов: ;

2) а) будет продано менее 2 пакетов: по условию = 0,2.

;

б) будет продано не более двух пакетов:

в) будет продано хотя бы два пакета

.

Указанную вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, т.е.

.

г) наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определится из условия , т.е. или . Наивероятнейших чисел два: и .

Пример 4. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна . Так как — мала, — велико и то применяем формулу Пуассона:

Получим . Значение вероятности при и нашли по таблице приложения В.

Пример 5. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) три изделия; б) по крайней мере три изделия; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

Решение. Вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке, равна = 0,0002.

1) а) так как мала, а =10000 велико и следует применить формулу Пуассона:

Это значение вероятности нашли по таблице приложения В:

;

б) вероятность может быть вычислена как сумма большого количества слагаемых:

.

Но, разумеется, проще ее найти, перейдя к противоположному событию:

Следует отметить, что для вычисления вероятности = нельзя применить интегральную формулу Муавра–Лапласа, так как не выполнено условие ее применимости, ибо ;

2) а) в данном случае = 1 – 0,0002 = 0,9998 и надо найти , для непосредственного вычисления которой нельзя применить ни формулу Пуассона ( велика), ни локальную формулу Муавра–Лапласа ( ). Однако событие «не будет повреждено 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено 3 из 10 000», вероятность которого, равная 0,1804, получена в п.1(а);

6) событие «не будет повреждено хотя бы 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено не более 3 из 10 000», для которого = 0,0002 и

Пример 6. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна . Т. к.   достаточно велико (условие выполнено), то применяем локальную формулу Муавра–Лапласа.

Вначале определим .

Тогда по локальной формуле Муавра–Лапласа

(значение найдено по таблице приложения А). Весьма малое значение вероятности не должно вызывать сомнения, так как кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильни­ки» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице.

Пример 7. По данным предыдущего примера 6 вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра–Лапласа . Вначале определим и :

Теперь, учитывая свойства получим

.

По таблице приложения Б: , .

Пример 8. По данным примера 6 вычислить вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Вычислить вероятность мож­но аналогично примеру 7 по интегральной формуле Муавра–Лапласа. Но проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360 симметричны относительно величины = 320. Тогда получим

Пример 9. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет.

1. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

2. При каком числе новорожденных с надежностью 0,95 до­ля доживших до 50 лет будет заключена в границах от 0,86 до 0,88?

Решение. 1. а) вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Так как = 1000 велико (условие выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Вначале оп­ределим и :

Теперь

;

б) по формуле

Так как неравенство равносильно неравенству полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет.

2. По условию

или

По формуле при

По таблице 2 приложений при следовательно, из формулы получим

т.е. условие может быть гарантировано при существенном уве­личении числа рассматриваемых новорожденных до 4345.

Пример 10. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

Решение. а) по условию = 0,5. Так = 1000 достаточно велико (условие выполнено), то применяем локальную формулу Муавра–Лапласа. Вначале определим . Чтобы вычислить значения , используем линейную интерполяцию (табл. прил. А):

.

Тогда ;

б) наивероятнейшее число найдем из двойного неравенства , т.е.  и целое

Теперь определим

и ;

в) необходимо найти . Применяем интегральную формулу Муавра–Лапласа, предварительно найдя по формуле

Получаем

,

где значение вычисляем, используя линейную интерполяцию (табл. прил. Б):

г) вероятность можно было найти по той же интегральной формуле Муавра–Лапласа. Но проще это сделать, используя следствие, заметив, что границы интервала 480 и 520 симметричны относительно значения :

Пример 11. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной = 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной клиентам при наступлении страхового случая, т.е.

тыс. руб.

Для определения применим интегральную формулу Муавра–Лапласа (требование выполнено).

По условию задачи

откуда

По таблице приложения Б при .

Теперь и

т.е. с надежностью 0,95 ожидаемая прибыль составит 1,92 млн руб.