2.2.1. Формула Пуассона

Теорема Пуассона. Если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний , причем произведение стремится к постоянному числу , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

Доказательство. Воспользуемся формулой Бернулли:

.

Учитывая, что т.е. при достаточно больших , тогда

Так как

и

то

Строго говоря, условие теоремы Пуассона при , так что , противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании . Однако если вероятность  – постоянна и мала, число испытаний  – велико и число  – незначительно (будем полагать, что ), то приближенная формула Пуассона верна.

При больших и относительно малых ошибка приближения не превышает . Если , то относительная погрешность составляет 1%.

2.2.2. Простейший поток событий

Во многих практических ситуациях приходится выяснять закономерности появления определенного типа событий: прибытие судов в порт, отказов в работе устройств и т.д.

Расчет многих предприятий, например количество парикмахерских, количество касс в магазине, число коек в больнице, число шлюзов на реке и т.д., связано с так называемым потоком событий.

Определение. Поток событий называется простейшим, если он обладает следующими свойствами:

– стационарности – для любой группы конечного числа непересекающихся интервалов времени появление в них соответственно событий зависит только от этих чисел и от длин промежутков времени;

– отсутствия последействия – вероятность поступления k событий в некоторый промежуток времени не зависит от того, сколько событий и как поступило до этого промежутка времени;

– ординарности – невозможность появления двух и более событий за очень маленький промежуток времени.

Обозначим через промежуток времени, который нас интересует, через интенсивность потока, т.е. количество событий за единицу времени.

Можно доказать, что вероятность того, что за время поступит ровно событий, вычисляется по формуле:

,

где  – среднее число появления события за .

2.2.3. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях

Если – фиксировано, то некоторая функция от аргумента , принимающего значения . Выясним, при каком значении аргумента эта функция достигает максимума, проще говоря, какое из чисел является наибольшим.

Рассмотрим два соседних числа: и .

Между ними имеет место одно из трех соотношений:

, ,

Рассмотрим первое соотношение, т.е. . Преобразуем его к виду , т.к. .

Воспользуемся формулой Бернулли  ; и учитывая, что , получим

или .

Раскроем скобки и соберем слагаемые с :

, так как , то . Пусть и тогда . Аналогично, рассматривая соотношения и , получим и .

Итак, если

, то ;

, то , (если – целое);

, то .

Т.е при функция возрастает, а при функция убывает. Следовательно, если число  – не целое, то функция имеет максимум и он достигается при ближайшем к справа целом значении, т.е. при таком целом , которое заключено между и : или .

Если – целое число, то два равных максимума достигаются при и .

Теорема о вероятности наивероятнейшего числа успехов.

Для расчета вероятности наивероятнейшего числа успехов используется формула, дающая приближенный результат. Точность формулы зависит от числа испытаний и по мере увеличения их числа возрастает:

.